Encontre a derivada e enuncie a fórmula de integração correspondente:
dd x[sin x-x cos x]

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrarmos a derivada da função $ \sin x - x \cos x $ e também a fórmula de integração correspondente. Vamos precisar usar as regras de derivação, especialmente a regra do produto, e entender como elas se relacionam com a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que precisamos derivar: $ f(x) = \sin x - x \cos x $. Para derivar essa função, precisamos derivar cada termo separadamente.

Passo 3

Vamos começar derivando $ \sin x $. A derivada de $ \sin x $ é $ \cos x $.
sin x

Passo 4

Agora, vamos derivar o segundo termo, $ -x \cos x $. Aqui temos um produto de duas funções: $ x $ e $ \cos x $. Para derivar esse produto, usamos a Regra do Produto, que diz que:
-x cos x
Onde $ u = x $ e $ v = \cos x $.

Passo 5

Primeiro, encontramos as derivadas de $ u $ e $ v $:
u
v

Passo 6

Aplicando a Regra do Produto:
ddx[x cos x] = u' cdot v + u cdot v' = 1 cdot cos x + x cdot (-sin x) = cos x - x sin x
Como o termo original era $ -x \cos x $, a derivada será o negativo disso:
-x cos x

Passo 7

Agora, juntamos as derivadas dos dois termos:
ddx[sin x - x cos x] = cos x + (-cos x + x sin x) = x sin x

Passo 8

Então, a derivada da função $ \sin x - x \cos x $ é $ x \sin x $.

Resposta

A derivada de $ \sin x - x \cos x $ é $ x \sin x $. A fórmula de integração correspondente é:
sin x - x cos x
Onde $ C $ é a constante de integração.

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