Encontre a derivada e enuncie a fórmula de integração correspondente:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrarmos a derivada da função $ \sin x - x \cos x $ e também a fórmula de integração correspondente. Vamos precisar usar as regras de derivação, especialmente a regra do produto, e entender como elas se relacionam com a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que precisamos derivar: $ f(x) = \sin x - x \cos x $. Para derivar essa função, precisamos derivar cada termo separadamente.
Passo 3
Vamos começar derivando $ \sin x $. A derivada de $ \sin x $ é $ \cos x $.
Passo 4
Agora, vamos derivar o segundo termo, $ -x \cos x $. Aqui temos um produto de duas funções: $ x $ e $ \cos x $. Para derivar esse produto, usamos a Regra do Produto, que diz que:
Onde $ u = x $ e $ v = \cos x $.
Passo 5
Primeiro, encontramos as derivadas de $ u $ e $ v $:
Passo 6
Aplicando a Regra do Produto:
Como o termo original era $ -x \cos x $, a derivada será o negativo disso:
Passo 7
Agora, juntamos as derivadas dos dois termos:
Passo 8
Então, a derivada da função $ \sin x - x \cos x $ é $ x \sin x $.
Resposta
A derivada de $ \sin x - x \cos x $ é $ x \sin x $. A fórmula de integração correspondente é:
Onde $ C $ é a constante de integração.