Encontre a derivada e enuncie a fórmula de integração correspondente:
dd x[xx^2+3]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a derivada da função $ f(x) = \frac{x}{x^{2} + 3} $ e também escrever a fórmula de integração correspondente. Para isso, vamos usar as regras de derivação e integração que estudamos em cálculo. Não se preocupe se alguns termos parecerem novos, vou explicar tudinho passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de $ f(x) = \frac{x}{x^{2} + 3} $. Para derivar uma função que é uma fração, a gente geralmente usa a Regra do Quociente. Essa regra é uma maneira de derivar funções que estão divididas dessa forma $ \frac{u(x)}{v(x)} $.

Passo 3

A Regra do Quociente diz que:
ddx[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) - u(x)v'(x)[v(x)]^2
Aqui, nossa função $ f(x) $ tem:
  • $ u(x) = x $
  • $ v(x) = x^{2} + 3 $
Vamos encontrar as derivadas dessas partes:
  • $ u’(x) = \frac{d}{dx}(x) = 1 $
  • $ v’(x) = \frac{d}{dx}(x^{2} + 3) = 2x $
Agora, aplicando a Regra do Quociente:
f(x)

Passo 4

Vamos simplificar o numerador:
1 cdot (x^2 + 3) - x cdot 2x = x^2 + 3 - 2x^2 = -x^2 + 3
Então, a derivada fica:
f'(x) = -x^2 + 3(x^2 + 3)^2

Passo 5

Agora, vamos encontrar a fórmula de integração correspondente, ou seja, queremos encontrar $ \int \frac{x}{x^{2} + 3} , dx $.
Para resolver essa integral, vamos usar uma técnica chamada Substituição, que é super útil quando a integral tem uma função e sua derivada presentes.

Passo 6

Vamos deixar $ u = x^{2} + 3 $. Então, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é:
u = x^2 + 3
Perceba que $ x , dx $ está presente na nossa integral, o que facilita a substituição.

Passo 7

Substituindo na integral:
integral xx^2 + 3 , dx = integral 1u cdot du2 = 12 integral 1u , du
A integral de $ \frac{1}{u} $ em relação a $ u $ é $ \ln|u| + C $, onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 8

Voltando para a variável original $ x $:
x
Como $ x^{2} + 3 $ é sempre positivo, podemos simplificar para:
12 integral 1u , du = 12 ln|u| + C = 12 ln|x^2 + 3| + C

Resposta

A derivada de $ \frac{x}{x^{2} + 3} $ é:
xx^2 + 3
E a fórmula de integração correspondente é:
f'(x) = -x^2 + 3(x^2 + 3)^2

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