Encontre a derivada e enuncie a fórmula de integração correspondente:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a derivada da função $ f(x) = \frac{x}{x^{2} + 3} $ e também escrever a fórmula de integração correspondente. Para isso, vamos usar as regras de derivação e integração que estudamos em cálculo. Não se preocupe se alguns termos parecerem novos, vou explicar tudinho passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de $ f(x) = \frac{x}{x^{2} + 3} $. Para derivar uma função que é uma fração, a gente geralmente usa a Regra do Quociente. Essa regra é uma maneira de derivar funções que estão divididas dessa forma $ \frac{u(x)}{v(x)} $.
Passo 3
A Regra do Quociente diz que:
Aqui, nossa função $ f(x) $ tem:
- $ u(x) = x $
- $ v(x) = x^{2} + 3 $
Vamos encontrar as derivadas dessas partes:
- $ u’(x) = \frac{d}{dx}(x) = 1 $
- $ v’(x) = \frac{d}{dx}(x^{2} + 3) = 2x $
Agora, aplicando a Regra do Quociente:
Passo 4
Vamos simplificar o numerador:
Então, a derivada fica:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a fórmula de integração correspondente, ou seja, queremos encontrar $ \int \frac{x}{x^{2} + 3} , dx $.
Para resolver essa integral, vamos usar uma técnica chamada Substituição, que é super útil quando a integral tem uma função e sua derivada presentes.
Passo 6
Vamos deixar $ u = x^{2} + 3 $. Então, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é:
Perceba que $ x , dx $ está presente na nossa integral, o que facilita a substituição.
Passo 7
Substituindo na integral:
A integral de $ \frac{1}{u} $ em relação a $ u $ é $ \ln|u| + C $, onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 8
Voltando para a variável original $ x $:
Como $ x^{2} + 3 $ é sempre positivo, podemos simplificar para:
Resposta
A derivada de $ \frac{x}{x^{2} + 3} $ é:
E a fórmula de integração correspondente é: