Calcule as integrais indefinidas e encontre a constante a partir do valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa calcular as integrais indefinidas da equação diferencial
. Além disso, temos uma condição inicial que diz que quando
,
. Para isso, vamos usar os conceitos de cálculo integral e encontrar a constante que aparece na integração.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar ambos os lados da equação
em relação a
para encontrar
.
Isso simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral
. Para integrar
, usamos a regra da potência para integração, que diz que:
onde
é a constante de integração. Aplicando isso aqui:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos usar a condição inicial
para encontrar o valor da constante
. Substituindo
e
na equação:
Sabemos que
, então:
Resposta
A solução da integral é: