Calcule as integrais indefinidas e encontre a constante a partir do valor inicial:
d yd x=3 x^-2 / 3
y(-1)=0( ou seja, quando y=0, x=-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa calcular as integrais indefinidas da equação diferencial dydx = 3 x^-2/3. Além disso, temos uma condição inicial que diz que quando x = -1, y = 0. Para isso, vamos usar os conceitos de cálculo integral e encontrar a constante que aparece na integração.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar ambos os lados da equação dydx = 3 x^-2/3 em relação a x para encontrar y(x).
integral dydx dx = integral 3 x^-2/3 dx
Isso simplifica para:
y(x) = integral 3 x^-2/3 dx

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral integral 3 x^-2/3 dx. Para integrar x^-2/3, usamos a regra da potência para integração, que diz que:
integral x^n dx = x^n+1n+1 + C
onde C é a constante de integração. Aplicando isso aqui:
integral 3 x^-2/3 dx = 3 cdot x^-2/3 + 1-2/3 + 1 + C = 3 cdot x^1/31/3 + C = 9 x^1/3 + C
Então, temos:
y(x) = 9 x^1/3 + C

Passo 4

Agora, vamos usar a condição inicial y(-1) = 0 para encontrar o valor da constante C. Substituindo x = -1 e y = 0 na equação:
0 = 9 (-1)^1/3 + C
Sabemos que (-1)^1/3 = -1, então:
0 = 9 (-1) + C Rightarrow 0 = -9 + C Rightarrow C = 9

Resposta

A solução da integral é:
y(x) = 9 x^1/3 + 9

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