Calcule as integrais indefinidas nos exercicios 1-12 usando as substituições dadas para reduzir as integrais à forma-padrão.
\int x{3}\left(x{4}-1\right)^{2} d x, \quad u=x^{4}-1

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int x^{3}\left(x^{4}-1\right)^{2}\,dx,
e nos fornece a substituição sugerida \;u=x^{4}-1. Lista das informações dadas:
  • A integral a calcular é \displaystyle \int x^{3}\left(x^{4}-1\right)^{2}\,dx.
  • A substituição indicada é \displaystyle u=x^{4}-1.
    Não vamos resolver ainda; apenas identificamos o que foi pedido e qual substituição usar.

Passo 2

Vamos calcular a diferencial associada à substituição. Diferenciando \;u=x^{4}-1 em relação a x obtemos:
du = \frac{d}{dx}\bigl(x^{4}-1\bigr)\,dx = 4x^{3}\,dx.
Isto significa que podemos isolar x^{3}\,dx em termos de du:
x^{3}\,dx = \frac{1}{4}\,du.
Aqui usamos a regra básica de diferenciação de potências: \frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.

Passo 3

Substituímos na integral original: como u=x^{4}-1 temos \left(x^{4}-1\right)^{2}=u^{2}, e como x^{3}\,dx=\frac{1}{4}du temos
\int x^{3}\left(x^{4}-1\right)^{2}\,dx = \int u^{2}\cdot\frac{1}{4}\,du.
Factorizamos a constante \frac{1}{4} para fora da integral:
\int x^{3}\left(x^{4}-1\right)^{2}\,dx = \frac{1}{4}\int u^{2}\,du.

Passo 4

Agora integramos \displaystyle \int u^{2}\,du usando a regra da potência para primitiva: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=2, logo
\int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3}+C.
Multiplicando pela constante \frac{1}{4} que estava fora da integral:
\frac{1}{4}\int u^{2}\,du = \frac{1}{4}\cdot\frac{u^{3}}{3}+C = \frac{u^{3}}{12}+C.

Passo 5

Voltamos à variável original x substituindo u=x^{4}-1:
\frac{u^{3}}{12}+C = \frac{\bigl(x^{4}-1\bigr)^{3}}{12}+C.
Essa é a primitiva buscada.

Passo 6

Checagem rápida (útil na prova): derivando a resposta encontramos
\frac{d}{dx}\left(\frac{\bigl(x^{4}-1\bigr)^{3}}{12}\right) = \frac{1}{12}\cdot 3\bigl(x^{4}-1\bigr)^{2}\cdot 4x^{3} = x^{3}\bigl(x^{4}-1\bigr)^{2},
que bate com o integrando original, confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{\bigl(x^{4}-1\bigr)^{3}}{12}+C

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