Calcule as integrais indefinidas nos exercicios 1-12 usando as substituições dadas para reduzir as integrais à forma-padrão.
\int x{3}\left(x{4}-1\right)^{2} d x, \quad u=x^{4}-1
\int x{3}\left(x{4}-1\right)^{2} d x, \quad u=x^{4}-1
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida
e nos fornece a substituição sugerida
. Lista das informações dadas:
- A integral a calcular é
. - A substituição indicada é
.
Não vamos resolver ainda; apenas identificamos o que foi pedido e qual substituição usar.
Passo 2
Vamos calcular a diferencial associada à substituição. Diferenciando
em relação a
obtemos:
Isto significa que podemos isolar
em termos de
:
Aqui usamos a regra básica de diferenciação de potências:
.
Passo 3
Substituímos na integral original: como
temos
, e como
temos
Factorizamos a constante
para fora da integral:
Passo 4
Agora integramos
usando a regra da potência para primitiva: para
,
Aqui
, logo
Multiplicando pela constante
que estava fora da integral:
Passo 5
Voltamos à variável original
substituindo
:
Essa é a primitiva buscada.
Passo 6
Checagem rápida (útil na prova): derivando a resposta encontramos
que bate com o integrando original, confirmando que a primitiva está correta.