\int \frac{e^{\cos ^{-1} x} d x}{\sqrt{1-x^{2}}}

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral
\int \frac{e^{\cos^{-1} x}}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx.
Informações dadas importantes: temos a função exponencial de \cos^{-1} x no numerador e uma raiz \sqrt{1-x^{2}} no denominador. Precisamos encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{e^{\cos^{-1} x}}{\sqrt{1-x^{2}}}. A resposta deve incluir a constante de integração C.

Passo 2

Idéia principal (substituição): note que a expressão \cos^{-1} x aparece inteira no expoente e que a derivada de \cos^{-1} x é proporcional a 1/\sqrt{1-x^{2}}. Vou explicar isso com calma. Seja
u=\cos^{-1} x.
Queremos relacionar du com dx. Para isso, use a definição inversa: se u=\cos^{-1} x então \cos u = x. Diferenciando ambos os lados em relação a x (regra da cadeia), obtemos
-\sin u\cdot \frac{du}{dx}=1.
Como \sin u=\sqrt{1-\cos^{2}u}=\sqrt{1-x^{2}} (tomamos o sinal positivo porque \cos^{-1} x varia em [0,\pi]), isolamos \frac{du}{dx}:
\frac{du}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Isso mostra a relação diferencial que precisamos.

Passo 3

Reescrevendo a relação diferencial para substituir na integral:
du=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx \quad\Rightarrow\quad \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}=-du.
Agora substituímos u=\cos^{-1} x e \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}=-du na integral original:
\int \frac{e^{\cos^{-1} x}}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx =\int e^{u}\cdot\left(-du\right) =-\int e^{u}\,du.

Passo 4

Cálculo direto da antiderivada em u: a primitiva de e^{u} em relação a u é e^{u}. Logo
-\int e^{u}\,du = -e^{u}+C.
Voltando à variável original x (substituindo u=\cos^{-1} x), obtemos
-e^{u}+C = -e^{\cos^{-1} x}+C.

Passo 5

Observação/atalho útil para prova: reconhecendo que
\frac{d}{dx}\left(e^{\cos^{-1} x}\right) =e^{\cos^{-1} x}\cdot\frac{d}{dx}\left(\cos^{-1} x\right) =e^{\cos^{-1} x}\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right) =-\frac{e^{\cos^{-1} x}}{\sqrt{1-x^{2}}},
vemos imediatamente que a integranda é -\dfrac{d}{dx}\bigl(e^{\cos^{-1} x}\bigr). Portanto a primitiva é -e^{\cos^{-1} x}+C. Esse atalho economiza tempo na prova quando você identifica formas do tipo f'(x)e^{f(x)} ou a derivada de uma função composta.

Passo 6

Observação sobre domínio: a expressão \sqrt{1-x^{2}} exige -1<x<1 (ou é tratada como integral imprópria nos extremos), portanto a primitiva encontrada é válida para x\in(-1,1). Não esqueça da constante de integração C.

Resposta

-e^{\cos^{-1} x}+C

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