Passo 1
O que o problema pede: calcular a integral
Informações dadas importantes: temos a função exponencial de
no numerador e uma raiz
no denominador. Precisamos encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma função
tal que
. A resposta deve incluir a constante de integração
.
Passo 2
Idéia principal (substituição): note que a expressão
aparece inteira no expoente e que a derivada de
é proporcional a
. Vou explicar isso com calma. Seja
Queremos relacionar
com
. Para isso, use a definição inversa: se
então
. Diferenciando ambos os lados em relação a
(regra da cadeia), obtemos
Como
(tomamos o sinal positivo porque
varia em
), isolamos
:
Isso mostra a relação diferencial que precisamos.
Passo 3
Reescrevendo a relação diferencial para substituir na integral:
Agora substituímos
e
na integral original:
Passo 4
Cálculo direto da antiderivada em
: a primitiva de
em relação a
é
. Logo
Voltando à variável original
(substituindo
), obtemos
Passo 5
Observação/atalho útil para prova: reconhecendo que
vemos imediatamente que a integranda é
. Portanto a primitiva é
. Esse atalho economiza tempo na prova quando você identifica formas do tipo
ou a derivada de uma função composta.
Passo 6
Observação sobre domínio: a expressão
exige
(ou é tratada como integral imprópria nos extremos), portanto a primitiva encontrada é válida para
. Não esqueça da constante de integração
.