Calcule as integrais indefinidas:
f) integral 1raiz7+6 x-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral 1raiz7+6x - x^2,dx. O conteúdo aqui é integral de uma função com raiz de um polinômio quadrático e vamos precisar completar o quadrado e usar a forma padrão integralduraiza^2 - u^2 = arcsinl(u/ar) + C.

Passo 2

Primeiro, reorganizamos o polinômio dentro da raiz para completar o quadrado: vamos escrever
7+6x - x^2 = -(x^2 -6x -7) = -l(x^2 -6x +9r) +9 +7 = - (x-3)^2 +16

Passo 3

Isso mostra que
integral 1raiz7+6x - x^2,dx = integral 1raiz16 - (x-3)^2,dx

Passo 4

Agora fazemos a troca de variável u = x-3, então du = dx. A integral vira
integral duraiz16 - u^2

Passo 5

Aplicamos a forma padrão de integral de arco seno:
integral duraiza^2 - u^2 = arcsinl(uar) + C,
aqui com a=4. Assim obtemos
arcsinl(tfracu4r) + C = arcsinl(tfracx-34r) + C

Resposta

arcsinl(tfracx-34r) + C

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