Determinar a solução geral das seguintes EDOs aplicando o método de Equações do tipo Cauchy-Euler:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO
usando o método de Cauchy–Euler. O conteúdo aqui é reconhecer que essa equação é de Euler, em que os coeficientes são potências de
, e que podemos usar o palpite
.
Passo 2
Para aplicar o método, a gente assume
e calcula as derivadas necessárias:
Passo 3
Substituindo na EDO original:
Isso simplifica para
e, como
, obtemos a equação característica
Escrevendo a parte algébrica:
Escrevendo a parte algébrica:
Resolvendo a equação quadrática pelo fórmula de Bhaskara:
Passo 4
Como as raízes são
e
, a solução geral da EDO de Euler é
Escrevemos a combinação linear das potências de :
Escrevemos a combinação linear das potências de
où
Nesta forma a gente já tem a solução geral da EDO do tipo Cauchy–Euler.
Resposta
y(x) = C_1 x^{(3 + \sqrt5)/2} + C_2 x^{(3 - \sqrt5)/2}