Determinar a solução geral das seguintes EDOs aplicando o método de Equações do tipo Cauchy-Euler:
x^2 y^prime prime-2 x y^prime+y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO x^2y'' - 2x y' + y = 0 usando o método de Cauchy–Euler. O conteúdo aqui é reconhecer que essa equação é de Euler, em que os coeficientes são potências de x, e que podemos usar o palpite y = x^m.

Passo 2

Para aplicar o método, a gente assume y = x^m e calcula as derivadas necessárias:
y = x^m,
y' = m x^m-1,
y'' = m(m-1)x^m-2

Passo 3

Substituindo na EDO original:
x^2l(m(m-1)x^m-2r) - 2xl(m x^m-1r) + x^m = 0
Isso simplifica para
m(m-1)x^m - 2m x^m + x^m = 0
e, como x^mneq0, obtemos a equação característica
Escrevendo a parte algébrica:
m(m-1) - 2m + 1 = 0 Longrightarrow m^2 - 3m + 1 = 0
Resolvendo a equação quadrática pelo fórmula de Bhaskara:
m = 3 pm raiz9 - 42 = 3 pm raiz52

Passo 4

Como as raízes são m1 = tfrac3 + raiz52 e m2 = tfrac3 - raiz52, a solução geral da EDO de Euler é
Escrevemos a combinação linear das potências de x:
y(x) = C1 x^3 + raiz52 + C2 x^3 - raiz52,
C1 e C2 são constantes arbitrárias.
Nesta forma a gente já tem a solução geral da EDO do tipo Cauchy–Euler.

Resposta

y(x) = C_1 x^{(3 + \sqrt5)/2} + C_2 x^{(3 - \sqrt5)/2}

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