Calcule as integrais indefinidas:
a) integral raizx^2+10 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral raizx^2+10x,dx. O conteúdo envolve técnicas de integração de funções algébricas e vamos precisar completar o quadrado e usar uma substituição trigonométrica.

Passo 2

Para simplificar a raiz, completamos o quadrado dentro de raizx^2+10x:
x^2+10x = (x+5)^2 - 25,
logo raizx^2+10x = raiz(x+5)^2-25. Explicando: completar o quadrado nos permite ter algo no formato raizu^2-a^2, ideal para substituições trigonométricas.

Passo 3

Fazemos a substituição trigonométrica clássica para raizu^2-a^2. Definimos
u = x+5 = 5sectheta,
para que raizu^2-25 = 5tantheta. Como du = dx e du = 5secthetatantheta,dtheta, concluímos que
dx = 5secthetatantheta,dtheta

Passo 4

Substituindo na integral original, temos
integral raizx^2+10x,dx = integral 5tantheta cdot 5secthetatantheta,dtheta = 25integral secthetatan^2theta,dtheta
Como tan^2theta = sec^2theta -1, isso vira
25integral (sec^3theta - sectheta),dtheta

Passo 5

Agora integramos cada termo separadamente. Lembrando que
integral sectheta,dtheta = ln|sectheta + tantheta| + C1 e integral sec^3theta,dtheta = tfrac12l(secthetatantheta + ln|sectheta + tantheta|r) + C2
Logo
25integral (sec^3theta - sectheta),dtheta = 25l[tfrac12secthetatantheta + tfrac12ln|sectheta + tantheta| - ln|sectheta + tantheta|r] + C

Passo 6

Voltando para x, usamos
sectheta = x+55, tantheta = raizx^2+10x5
Assim,
252secthetatantheta = x+52raizx^2+10x,
e
ln|sectheta + tantheta| = lnl|x+5 + raizx^2+10xr| - ln5
O termo envolvendo ln5 fica absorvido na constante de integração.

Passo 7

Finalmente, somando os termos calculados e reorganizando, chegamos à expressão da antiderivada pedida.

Resposta

[\frac{x+5}{2}\sqrt{x^{2}+10x} - \frac{25}{2}\ln\bigl|x+5 + \sqrt{x^{2}+10x}\bigr| + C]

Exercícios relacionados