Calcule as integrais indefinidas:
f) integral cos ^3 x sen^2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral cos^3 x,sin^2 x,dx. O conteúdo é integração de funções trigonométricas, e vamos usar identidades trigonométricas e substituição para resolver.

Passo 2

Observe que cos^3 x = cos xcdotcos^2 x e que podemos usar a identidade trigonométrica:
cos^2 x = 1 - sin^2 x
Substituindo em cos^3 x:
cos^3 x = cos x,(1 - sin^2 x)

Passo 3

Logo o integrando fica:
cos^3 x,sin^2 x = cos x,(1 - sin^2 x),sin^2 x = cos x,(sin^2 x - sin^4 x)

Passo 4

Agora fazemos a substituição u = sin x, de modo que du = cos x,dx. A integral torna-se:
integral (sin^2 x - sin^4 x)cos x,dx = integral (u^2 - u^4),du

Passo 5

Integramos termo a termo:
integral u^2,du = u^33, integral u^4,du = u^55

Passo 6

Portanto:
integral (u^2 - u^4),du = u^33 - u^55 + C

Passo 7

Revertendo u = sin x, achamos a primitiva da integral original:
integral cos^3 x,sin^2 x,dx = sin^3 x3 - sin^5 x5 + C

Resposta

sin^3 x3 - sin^5 x5 + C

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