Seja f: R R uma função dada por
f(x)=ccc x^2-x-2x-2 & se & x neq 2 3 & se & x=2
mostre que f é contínua em todos os pontos do seu domíno.

Passo 1

O enunciado pede pra mostrar que a função f: Rto R, definida por
f(x)= dfracx^2 - x - 2x - 2,&xneq 2, 3,&x=2,
é contínua em todo o seu domínio. O conteúdo envolvido é continuidade de funções, usando propriedades de polinômios, quocientes e limites.

Passo 2

Primeiro, note que para xneq 2 a função é dada pelo quociente de dois polinômios. Sabemos que polinômios são contínuos em R e que o quociente de funções contínuas é contínuo onde o denominador não se anula. Aqui, para xneq2, x-2neq0. Logo, f(x)=dfracx^2 - x - 2x - 2 é contínua para todo xneq2.

Passo 3

Para verificar a continuidade em x=2, precisamos checar se
limxto2f(x)=f(2)
Como já excluímos x=2 na definição da fração, simplificamos o numerador para calcular o limite:

Passo 4

Fatorando o numerador,
x^2-x-2=(x-2)(x+1)
Para xneq2, podemos simplificar:
f(x)=(x-2)(x+1)x-2=x+1

Passo 5

Agora o limite quando xto2 fica fácil:
limxto2f(x)=limxto2(x+1)=2+1=3
Como f(2)=3, temos
limxto2f(x)=f(2),
o que garante continuidade em x=2.

Resposta

A função é contínua para todos os xin R.

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