Calcule as integrais indefinidas:
n) integral 3 x+2raiz1-x^2 d x

Passo 1

O exercício pede para encontrar a primitiva da função 3x+2raiz1-x^2. O conteúdo envolvido é integração de soma de termos, aplicando linearidade de integrais, substituição para integrais do tipo integral x/raiz1-x^2,dx e o resultado padrão integral1raiz1-x^2,dx=arcsin(x).

Passo 2

Vamos usar a linearidade das integrais para separar em duas partes:
integral 3x+2raiz1-x^2,dx = 3integral xraiz1-x^2,dx + 2integral 1raiz1-x^2,dx

Passo 3

Para resolver integral xraiz1-x^2,dx, fazemos a substituição u = 1-x^2. Então du = -2x,dx, ou seja x,dx = -tfrac12,du. A integral vira:
integral xraiz1-x^2,dx = integral xraizu,dx = -tfrac12 integral u^-1/2,du = -tfrac12cdot 2u^1/2 = -raizu = -raiz1-x^2

Passo 4

A outra integral é reconhecida como a primitiva da função arco-seno:
integral 1raiz1-x^2,dx = arcsin(x)

Passo 5

Agora é só recompor:
3integral xraiz1-x^2,dx + 2integral 1raiz1-x^2,dx = 3l(-raiz1-x^2r) + 2arcsin(x)

Passo 6

Adicionamos a constante de integração +C para concluir.

Resposta

2\arcsin(x) - 3\sqrt{1 - x^2} + C

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