Calcule as integrais indefinidas:
s) integral e^t cos (2 t) d t

Passo 1

Temos a integral integral e^tcos(2t),dt, que usa o conteúdo de integração por partes. Vamos precisar aplicar a fórmula integral u,dv = uv - integral v,du duas vezes e resolver uma equação para a própria integral.

Passo 2

Escolhemos u = e^t e dv = cos(2t),dt. Então du = e^t,dt e
v = integral cos(2t),dt = 12sin(2t)
Aplicando integração por partes, obtemos
integral e^tcos(2t),dt = e^tcdot12sin(2t) - integral 12sin(2t),e^t,dt
Chamamos essa integral de I.

Passo 3

Para calcular integral e^tsin(2t),dt, aplicamos integração por partes de novo, escolhendo u = e^t e dv = sin(2t),dt. Assim du = e^t,dt e
v = integral sin(2t),dt = -12cos(2t)
Logo,
integral e^tsin(2t),dt = e^tl(-12cos(2t)r) - integral l(-12cos(2t)r)e^t,dt = -12e^tcos(2t) + 12integral e^tcos(2t),dt

Passo 4

Voltando à expressão de I, tínhamos
I = 12e^tsin(2t) - 12integral e^tsin(2t),dt
Substituindo o resultado acima,
I = 12e^tsin(2t) - 12l(-12e^tcos(2t) + 12Ir)
Simplificando,
I = 12e^tsin(2t) + 14e^tcos(2t) - 14I
Passando 14I para o lado esquerdo,
I + 14I = 12e^tsin(2t) + 14e^tcos(2t),
54I = e^t4l(2sin(2t) + cos(2t)r),
logo
I = e^t5l(2sin(2t) + cos(2t)r)

Resposta

integral e^tcos(2t),dt = e^t5l(cos(2t) + 2sin(2t)r) + C

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