CALCULE AS INTEGRAIS INDEFINIDAS:
f) \int\left(e^{-x}+e^{3 x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida da função cujo integrando é e^{-x}+e^{3x}.\n
Informações dadas: a função a integrar é a soma de duas exponenciais, e^{-x} e e^{3x}.\n
O que nos pede: encontrar uma primitiva (ou família de primitivas) F(x) tal que F'(x)=e^{-x}+e^{3x}.\n

Passo 2

Propriedade importante que vamos usar: a integral é linear. Isso significa que a integral da soma é a soma das integrais e constantes podem ser fatoradas. Em fórmulas:
\int\big(f(x)+g(x)\big)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx
\int c\cdot f(x)\,dx = c\int f(x)\,dx
Aqui podemos separar a integral original em duas:
\int\big(e^{-x}+e^{3x}\big)\,dx=\int e^{-x}\,dx+\int e^{3x}\,dx.

Passo 3

Regra básica para integrais de exponenciais: se a é uma constante não nula, então
\int e^{a x}\,dx=\frac{1}{a}e^{a x}+C.
Explicação/derivação rápida: sabemos que \dfrac{d}{dx}e^{a x}=a e^{a x}. Para encontrar uma função cuja derivada seja e^{a x} precisamos dividir por a; ou seja, a derivada de \dfrac{1}{a}e^{a x} é e^{a x}. O C é a constante de integração. Observação: aqui a\neq0; se a=0 então e^{a x}=e^{0}=1 e a integral seria x+C.

Passo 4

Aplicando a regra do passo anterior aos dois termos:
  • Para \int e^{-x}\,dx usamos a=-1. Logo
\int e^{-x}\,dx=\frac{1}{-1}e^{-x}=-e^{-x}+C_1.
  • Para \int e^{3x}\,dx usamos a=3. Logo
\int e^{3x}\,dx=\frac{1}{3}e^{3x}+C_2.

Passo 5

Somando as primitivas (e juntando as constantes C_1 e C_2 numa única constante C) obtemos a primitiva geral:
\int\big(e^{-x}+e^{3x}\big)\,dx=-e^{-x}+\frac{1}{3}e^{3x}+C.

Passo 6

Verificação rápida por diferenciação: derivando -e^{-x}+\dfrac{1}{3}e^{3x}+C obtemos
\frac{d}{dx}\Big(-e^{-x}+\frac{1}{3}e^{3x}+C\Big)=e^{-x}+e^{3x},
que é exatamente o integrando dado. Então a primitiva está correta.

Resposta

-e^{-x}+\dfrac{1}{3}e^{3x}+C

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