∫(sen 3 x-sen 2 x)^{2} dx

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral indefinida da função cujo integrando é (\sin 3x - \sin 2x)^{2}. Ou seja, precisamos encontrar
\int (\sin 3x - \sin 2x)^{2}\,dx.
Informações dadas: a expressão do integrando é exatamente (\sin 3x - \sin 2x)^{2}. O objetivo é obter uma primitiva (função cuja derivada é o integrando) e acrescentar a constante de integração C.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: desenvolver o quadrado para separar termos mais fáceis de integrar. Vamos usar a identidade de álgebra
(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2},
aplicada com a=\sin 3x e b=\sin 2x. Assim,
(\sin 3x - \sin 2x)^{2} = \sin^{2}3x - 2\sin 3x\sin 2x + \sin^{2}2x.

Passo 3

Explicar e aplicar a identidade de redução de potência para \sin^{2}. A identidade é
\sin^{2}t = \frac{1-\cos 2t}{2},
onde t é qualquer expressão (aqui será 3x ou 2x). Essa fórmula vem da identidade de cosseno duplo e é muito útil para transformar quadrados de seno em termos de cosseno, que são mais fáceis de integrar. Aplicando:
\sin^{2}3x = \frac{1-\cos 6x}{2},\qquad \sin^{2}2x = \frac{1-\cos 4x}{2}.

Passo 4

Explicar e aplicar a fórmula produto-para-soma para \sin A\sin B. A identidade é
\sin A \sin B = \frac{1}{2}\big(\cos(A-B)-\cos(A+B)\big).
Aqui, com A=3x e B=2x, temos
\sin 3x \sin 2x = \frac{1}{2}\big(\cos(3x-2x)-\cos(3x+2x)\big) = \frac{1}{2}\big(\cos x - \cos 5x\big).
Multiplicando por -2 (veja termo original -2\sin3x\sin2x):
-2\sin 3x\sin 2x = -\big(\cos x - \cos 5x\big) = -\cos x + \cos 5x.

Passo 5

Substituir as expressões obtidas em Passo 3 e Passo 4 na expansão do Passo 2 para escrever o integrando como soma de termos simples:
\begin{aligned} (\sin 3x - \sin 2x)^{2} &= \frac{1-\cos 6x}{2} + \frac{1-\cos 4x}{2} + \big(-\cos x + \cos 5x\big)\\[4pt] &= \underbrace{\frac{1+1}{2}}_{=1} - \cos x + \cos 5x - \frac{\cos 4x}{2} - \frac{\cos 6x}{2}\\[4pt] &= 1 - \cos x + \cos 5x - \tfrac{1}{2}\cos 4x - \tfrac{1}{2}\cos 6x. \end{aligned}]

Passo 6

Agora integramos termo a termo. Lembre que:
  • \displaystyle\int 1\,dx = x.
  • \displaystyle\int \cos(kx)\,dx = \frac{1}{k}\sin(kx) para constante k.
    Aplicando isso a cada termo:
\begin{aligned} \int 1\,dx &= x,\\[4pt] \int (-\cos x)\,dx &= -\sin x,\\[4pt] \int \cos 5x\,dx &= \frac{1}{5}\sin 5x,\\[4pt] \int \big(-\tfrac{1}{2}\cos 4x\big)\,dx &= -\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}\sin 4x = -\tfrac{1}{8}\sin 4x,\\[4pt] \int \big(-\tfrac{1}{2}\cos 6x\big)\,dx &= -\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}\sin 6x = -\tfrac{1}{12}\sin 6x. \end{aligned}]

Passo 7

Somando todas as primitivas obtidas e acrescentando a constante de integração C, a primitiva final é
x - \sin x + \tfrac{1}{5}\sin 5x - \tfrac{1}{8}\sin 4x - \tfrac{1}{12}\sin 6x + C.

Resposta

x - \sin x + \tfrac{1}{5}\sin 5x - \tfrac{1}{8}\sin 4x - \tfrac{1}{12}\sin 6x + C

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