CALCULE AS INTEGRAIS INDEFINIDAS:
e) \int x \cdot \operatorname{sen}\left(1-3 x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x \cdot \operatorname{sen}\!\left(1-3 x^{2}\right)\,dx.
Informações dadas e o que se pede:
  • A função a integrar é x\cdot\operatorname{sen}\!\left(1-3x^{2}\right).
  • A variável de integração é x.
  • Queremos encontrar uma primitiva (a família de funções que, derivada, gera o integrando), ou seja, a integral indefinida com constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método (explicação intuitiva e por que usar):
Observa-se que dentro da função trigonométrica aparece uma expressão em x, 1-3x^{2}, e fora dela temos um fator x. Isso é um cenário típico para usar substituição (u-substituição): se a derivada da expressão interna aparece multiplicando a função composta, podemos transformar a integral numa integral mais simples em termos de uma nova variável u. Vou usar substituição porque torna a integral direta e rápida.

Passo 3

Breve aula sobre substituição (regra utilizada):
Se tivermos uma integral da forma \int f(g(x))\cdot g'(x)\,dx, a substituição u=g(x) transforma a integral em \int f(u)\,du. Em palavras: escolhemos u igual à parte “composta” e substituímos dx por du/g'(x) (na prática calculamos du=g'(x)\,dx e resolvemos para dx). Isso é útil porque muitas integrais compostas desaparecem quando reescritas em u.

Passo 4

Aplicando a substituição ao nosso caso:
Escolhemos
u = 1-3x^{2}.
Calculamos du:
du = \frac{d}{dx}\bigl(1-3x^{2}\bigr)\,dx = (-6x)\,dx.
Isolamos x\,dx (pois é o que temos multiplicando a função seno):
x\,dx = -\frac{1}{6}\,du.
Agora substituímos na integral original. Repare que trocamos \operatorname{sen}\!\left(1-3x^{2}\right) por \operatorname{sen}(u) e x\,dx por -\tfrac{1}{6}du:
\int x\cdot\operatorname{sen}\!\left(1-3x^{2}\right)\,dx = \int \operatorname{sen}(u)\left(-\tfrac{1}{6}\,du\right) = -\tfrac{1}{6}\int \operatorname{sen}(u)\,du.

Passo 5

Integrando em u:
Sabemos a primitiva de \operatorname{sen}(u):
\int \operatorname{sen}(u)\,du = -\cos(u)+C.
Então
-\tfrac{1}{6}\int \operatorname{sen}(u)\,du = -\tfrac{1}{6}\bigl(-\cos(u)\bigr)+C = \tfrac{1}{6}\cos(u)+C.
Voltando à variável x (substituindo u=1-3x^{2}):
\int x\cdot\operatorname{sen}\!\left(1-3x^{2}\right)\,dx = \tfrac{1}{6}\cos\!\bigl(1-3x^{2}\bigr)+C.

Passo 6

Verificação rápida por diferenciação (serve para garantir que não houve erro):
Derivando a resposta encontrada:
\frac{d}{dx}\left[\tfrac{1}{6}\cos\!\bigl(1-3x^{2}\bigr)\right] = \tfrac{1}{6}\bigl(-\operatorname{sen}\!\bigl(1-3x^{2}\bigr)\bigr)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(1-3x^{2}\bigr).
Como \frac{d}{dx}\bigl(1-3x^{2}\bigr)=-6x, temos
\tfrac{1}{6}\bigl(-\operatorname{sen}(1-3x^{2})\bigr)\cdot(-6x) = x\cdot\operatorname{sen}\!\bigl(1-3x^{2}\bigr),
que é exatamente o integrando. Verificação confirmada.

Passo 7

Exemplo extra rápido para reforçar (prática):
Se tivéssemos \int x\cdot\operatorname{sen}\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx, poderíamos tomar u=x^{2}, du=2x\,dx, então x\,dx=\tfrac{1}{2}du e a integral vira \tfrac{1}{2}\int\operatorname{sen}(u)\,du=\tfrac{1}{2}(-\cos u)+C=-\tfrac{1}{2}\cos(x^{2})+C. É a mesma ideia usada na questão principal.

Resposta

\tfrac{1}{6}\cos\!\bigl(1-3x^{2}\bigr)+C

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