CALCULE AS INTEGRAIS INDEFINIDAS:
e)
e)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e o que se pede:
- A função a integrar é
. - A variável de integração é
. - Queremos encontrar uma primitiva (a família de funções que, derivada, gera o integrando), ou seja, a integral indefinida com constante de integração
.
Passo 2
Escolha do método (explicação intuitiva e por que usar):
Observa-se que dentro da função trigonométrica aparece uma expressão em ,
, e fora dela temos um fator
. Isso é um cenário típico para usar substituição (u-substituição): se a derivada da expressão interna aparece multiplicando a função composta, podemos transformar a integral numa integral mais simples em termos de uma nova variável
. Vou usar substituição porque torna a integral direta e rápida.
Observa-se que dentro da função trigonométrica aparece uma expressão em
Passo 3
Breve aula sobre substituição (regra utilizada):
Se tivermos uma integral da forma , a substituição
transforma a integral em
. Em palavras: escolhemos
igual à parte “composta” e substituímos
por
(na prática calculamos
e resolvemos para
). Isso é útil porque muitas integrais compostas desaparecem quando reescritas em
.
Se tivermos uma integral da forma
Passo 4
Aplicando a substituição ao nosso caso:
Escolhemos
Escolhemos
Calculamos
:
Isolamos
(pois é o que temos multiplicando a função seno):
Agora substituímos na integral original. Repare que trocamos
por
e
por
:
Passo 5
Integrando em
:
Sabemos a primitiva de :
Sabemos a primitiva de
Então
Voltando à variável
(substituindo
):
Passo 6
Verificação rápida por diferenciação (serve para garantir que não houve erro):
Derivando a resposta encontrada:
Derivando a resposta encontrada:
Como
, temos
que é exatamente o integrando. Verificação confirmada.
Passo 7
Exemplo extra rápido para reforçar (prática):
Se tivéssemos , poderíamos tomar
,
, então
e a integral vira
. É a mesma ideia usada na questão principal.
Se tivéssemos