Calcule as integrais indefinidas:
g) integral x+1x^2+1 d x

Passo 1

O problema pede para calcular a integral indefinida integral x+1x^2+1,dx. O conteúdo é integração de funções racionais simples, e vamos usar decomposição em frações mais simples e integrais conhecidas (logaritmo e arco-tangente).

Passo 2

Decompomos a fração em duas parcelas:
x+1x^2+1 = xx^2+1 + 1x^2+1
Pela linearidade da integral,
.

Passo 3

Para calcular integral xx^2+1,dx, fazemos a substituição
u = x^2+1 e du = 2x,dx, logo x,dx = tfrac12,du.
Assim,
integral xx^2+1,dx = integral 1u cdot 12,du = 12 integral 1u,du = 12 ln|u| + C1 = 12 ln(x^2+1) + C1

Passo 4

Para integral 1x^2+1,dx, usamos a fórmula padrão
integral 1x^2+1,dx = arctan(x) + C2

Passo 5

Somando as duas partes e absorvendo C1 + C2 numa constante única C, obtemos:
integral x+1x^2+1,dx = 12 ln(x^2+1) + arctan(x) + C

Resposta

12 ln(x^2+1) + arctan(x) + C

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