Utilizando a definição de integral imprópria para intervalos infinitos, determine se a integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule a integral que é convergente:
integral3^+infty d x(raizx-2)^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a integral imprópria integral3^+infty dx(raizx - 2)^3 é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também precisa calcular o valor dela. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais impróprias em intervalos infinitos, que é quando a gente integra até o infinito e precisa ver se o resultado é um número finito (convergente) ou infinito (divergente).

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da integral para facilitar a resolução. A função que estamos integrando é 1(raizx - 2)^3. Podemos reescrever isso usando potências:
1(raizx - 2)^3 = 1(x - 2)^32 = (x - 2)^-32
Então, a integral fica:
integral3^+infty (x - 2)^-32 dx

Passo 3

Agora, para resolver essa integral imprópria, vamos transformar o limite infinito em um limite limítrofe. Ou seja, vamos substituir +infty por uma variável, digamos b, e depois calcular o limite quando b tende ao infinito:
limb to +infty integral3^b (x - 2)^-32 dx

Passo 4

Vamos integrar a função $ (x - 2)^{-\frac{3}{2}} $. Para isso, usamos a regra básica de integração para potências:
(x - 2)^-32
Desde que integral (x - a)^n dx = (x - a)^n + 1n + 1 + C . No nosso caso, n neq -1 e a = 2:
n = -32

Passo 5

Agora, vamos avaliar a integral definida de 3 até b:
integral3^b (x - 2)^-32 dx = [ -2 (x - 2)^-12 ]3^b = -2 ( (b - 2)^-12 - (3 - 2)^-12 )
Simplificando:
-2 ( 1raizb - 2 - 1raiz1 ) = -2 ( 1raizb - 2 - 1 ) = 2 (1 - 1raizb - 2 )

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite quando b tende ao infinito:
limb to +infty 2 (1 - 1raizb - 2 ) = 2 (1 - 0 ) = 2
Porque 1raizb - 2 tende a 0 quando b vai para o infinito.

Resposta

A integral integral3^+infty dx(raizx - 2)^3 é convergente e seu valor é 2.

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