Utilizando a definição de integral imprópria para intervalos infinitos, determine se a integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule a integral que é convergente:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a integral imprópria
é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também precisa calcular o valor dela. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais impróprias em intervalos infinitos, que é quando a gente integra até o infinito e precisa ver se o resultado é um número finito (convergente) ou infinito (divergente).
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da integral para facilitar a resolução. A função que estamos integrando é
. Podemos reescrever isso usando potências:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, para resolver essa integral imprópria, vamos transformar o limite infinito em um limite limítrofe. Ou seja, vamos substituir
por uma variável, digamos
, e depois calcular o limite quando
tende ao infinito:
Passo 4
Vamos integrar a função $ (x - 2)^{-\frac{3}{2}} $. Para isso, usamos a regra básica de integração para potências:
Desde que
. No nosso caso,
e
:
Passo 5
Agora, vamos avaliar a integral definida de 3 até
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
Porque
tende a 0 quando
vai para o infinito.
Resposta
A integral
é convergente e seu valor é 2.