Calcule as integrais indefinidas indicadas abaixo:
integral(x+7) e^16 x d x

Passo 1

Beleza, vamos começar! A gente precisa calcular a integral indefinida de (x + 7)e^16x em relação a x. Isso está na área de Cálculo Integral, especificamente usando a técnica de integração por partes. Pra resolver isso, vamos precisar dividir a expressão em duas partes que a gente vai manipular separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Essa fórmula é super útil quando temos um produto de duas funções, como é o caso aqui. A ideia é escolher qual parte da expressão vai ser u e qual vai ser dv.

Passo 3

Vamos fazer as escolhas:
u = x + 7 dv = e^16x dx
Agora, precisamos calcular du (a derivada de u) e v (a integral de dv):
du = ddx(x + 7) dx = 1 cdot dx v = integral e^16x dx = 116 e^16x

Passo 4

Com esses valores, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral (x + 7)e^16x dx = uv - integral v , du = (x + 7) cdot 116 e^16x - integral 116 e^16x cdot 1 , dx = x + 716 e^16x - 116 integral e^16x dx

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral que sobrou:
integral e^16x dx = 116 e^16x + C
Substituindo de volta na expressão:
x + 716 e^16x - 116 cdot 116 e^16x + C = x + 716 e^16x - 1256 e^16x + C

Passo 6

Vamos simplificar juntando os termos semelhantes:
( x + 716 - 1256 ) e^16x + C = 16(x + 7) - 1256 e^16x + C = 16x + 112 - 1256 e^16x + C = 16x + 111256 e^16x + C

Resposta

A integral indefinida de (x + 7)e^16x é:
16x + 111256 , e^16x + C

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