Escolha a resposta para a integral
integral 4 x^3 cos (x^4) d x
A) integral x^3 cos (x^4) d x=x^3 cos (x^4)+c
B) integral x^3 cos (x^4) d x=4 sin (x^3)+c
C) integral x^3 cos (x^4) d x=cos (x^4)+c
D) integral x^3 cos (x^4) d x=sin (x^4)+c
E) integral x^3 cos (x^4) d x=x^4 sin (x^4)+c

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente usando a técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa técnica para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que, se substituída por uma variável nova, vai facilitar a integral. Olhe para o que está dentro do cosseno: u = x^4 . Vamos chamar essa parte de .
Então, fazemos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 4x^3 em relação a du = 4x^3 dx , ou seja, , para substituir o na integral.
Calculando a derivada:

Passo 4

Observamos que na integral original temos exatamente integral cos(u) du , que corresponde a . Isso significa que podemos substituir por na integral.
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, essa integral é bem mais simples! A integral de integral cos(u) du = sin(u) + C em relação a é , onde é a constante de integração.
Portanto:

Passo 6

Por fim, substituímos sin(x^4) + C de volta por para retornar à variável original.
Então, temos:

Resposta

A resposta correta é a opção D)

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