Qual o valor da integral
integral0^1(-2 x^2+2 x+2) d x ?
(A) 93
B) 146
C) 143
(D) 196
O) 192

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral definida de uma função polinomial de a . O conteúdo aqui é da área de Cálculo, mais especificamente de Integração. Para resolver, vamos precisar saber como encontrar a antiderivada (ou primitiva) da função e depois aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral:
integral0^1 (-2x^2 + 2x + 2) dx
Para resolver essa integral, precisamos encontrar a antiderivada de cada termo dentro dos parênteses. A antiderivada de uma função integral ax^n dx = an+1x^n+1 + C é dada por:
onde é a constante de integração. Vamos aplicar essa regra a cada termo da nossa função.

Passo 3

Vamos encontrar a antiderivada de cada termo:
  1. Para integral -2x^2 dx = -2 cdot x^33 = -23x^3 :
    integral 2x dx = 2 cdot x^22 = x^2
  2. Para integral 2 dx = 2x :
    -23x^3 + x^2 + 2x + C
  3. Para :
Então, a antiderivada completa da função é:

Passo 4

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz para calcular a antiderivada nos limites de integração e subtrair:
[ -23x^3 + x^2 + 2x ]0^1 = ( -23(1)^3 + (1)^2 + 2(1) ) - ( -23(0)^3 + (0)^2 + 2(0) )
Simplificando:
= ( -23 + 1 + 2 ) - ( 0 + 0 + 0 ) = -23 + 3 = 73

Resposta

O valor da integral é , que simplificado é . Portanto, a resposta correta é a opção B) .

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