Calcule as integrais indefinidas:
\int \cot ^{3} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida de
integral cot^3 x ,dx.
Aqui o conteúdo é integração de funções trigonométricas em potências de cotangente. Vamos usar a identidade cot^2 x = csc^2 x - 1 para decompor a potência e depois aplicar substituição.

Passo 2

Usando
cot^2 x = csc^2 x - 1,
temos
cot^3 x = cot x,cot^2 x = cot x,(csc^2 x - 1),
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integral cot^3 x,dx = integral l(cot x,csc^2 x - cot xr),dx = integral cot x,csc^2 x,dx ;-; integral cot x,dx

Passo 3

Para integral cot x,csc^2 x,dx usamos a substituição
u = cot x, du = -csc^2 x,dx Longrightarrow csc^2 x,dx = -du
Então
integral cot x,csc^2 x,dx = integral u,(-du) = -integral u,du = -tfracu^22 = -tfraccot^2 x2

Passo 4

Agora calculamos
integral cot x,dx.
Escrevendo cot x = cos xsin x, fazemos a substituição clássica v=sin x, dv=cos x,dx, e obtemos
integral cot x,dx = integral cos xsin x,dx = integral 1v,dv = lnlvert vrvert = lnlvert sin xrvert

Passo 5

Juntando os resultados:
integral cot^3 x,dx = l(-tfraccot^2 x2r) ;-;lnlvert sin xrvert + C

Resposta

-tfrac12cot^2 x ;-;lnlvert sin xrvert + C

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