Calcule as integrais indefinidas:
\int \operatorname{sec} ^{4} x d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral sec^4x,dx
O que vamos usar aqui é a identidade trigonométrica
sec^2x = tan^2x +1
e o método de substituição simples.

Passo 2

Reescrevemos
sec^4x = sec^2xcdotsec^2x = sec^2xl(tan^2x+1r)
e assim
integral sec^4x,dx = integral sec^2xtan^2x,dx ;+;integral sec^2x,dx

Passo 3

Para
integral sec^2xtan^2x,dx
fazemos a substituição ,u=tan x, de forma que du=sec^2x,dx. A integral vira
integral u^2,du = u^33 = tan^3x3

Passo 4

A outra parte
integral sec^2x,dx
é imediata, pois sabemos que
ddxl(tan xr)=sec^2x,
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integral sec^2x,dx = tan x

Passo 5

Somando os dois resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
integral sec^4x,dx = tan^3x3 + tan x + C

Resposta

tan^3x3 + tan x + C

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