Calcule as integrais indefinidas:
\int \frac{d x}{\sqrt{4-x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral dxraiz4 - x^2
Esse é um caso clássico da integral do tipo integral dxraiza^2-x^2, cujo resultado-padrão é arcsinl(x/ar)+C. Vamos aplicar uma substituição trigonométrica para chegar lá.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = 2sintheta, dx = 2costheta,dtheta,
e observamos que
raiz4 - x^2 = raiz4 - 4sin^2theta = 2costheta,
considerando -tfracpi2<=theta<=tfracpi2 para ter costheta>=0. Substituindo na integral:
integral dxraiz4 - x^2 = integral 2costheta,dtheta2costheta = integral dtheta

Passo 3

Integramos em theta:
integral dtheta = theta + C

Passo 4

Retornando à variável x, como x = 2sintheta temos theta = arcsinl(tfracx2r). Logo,
integral dxraiz4 - x^2 = arcsin!l(tfracx2r) + C

Resposta

arcsinl(tfracx2r) + C

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