Calcule as integrais indefinidas:
\int \csc ^{4} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral csc^4 x,dx
O conteúdo envolvido é integração de funções trigonométricas, mais especificamente usar identidades de potências de csc e substituição trigonométrica.

Passo 2

Usamos a identidade
csc^2 x = 1 + cot^2 x,
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csc^4 x = csc^2 x cdot csc^2 x = csc^2 x,(1 + cot^2 x)

Passo 3

Fazemos a substituição
u = cot x, du = -csc^2 x,dx Longrightarrow -!du = csc^2 x,dx

Passo 4

Reescrevendo a integral em u:
integral csc^4 x,dx = integral csc^2 x,(1 + cot^2 x),dx = integral (1 + u^2),l(csc^2 x,dxr) = integral (1 + u^2),(-du) = -integral (1 + u^2),du

Passo 5

Calculando em u:
-integral (1 + u^2),du = -l(u + u^33r) + C

Passo 6

Voltando para x (pois u=cot x):
-l(cot x + cot^3 x3r) + C = -cot x - cot^3 x3 + C

Resposta

-cot x - tfraccot^3 x3 + C

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