Calcule as integrais indefinidas:
\int \operatorname{sec} ^{4} x \tan ^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida integral sec^4x,tan^2x,dx. Vamos usar a identidade de redução sec^2x=1+tan^2x e a substituição u=tan x para simplificar.

Passo 2

Usando sec^4x=(sec^2x)^2=(1+tan^2x)^2, a integrand fica
sec^4x,tan^2x = (1+tan^2x)^2,tan^2x

Passo 3

Para aplicar a substituição, separamos um fator sec^2x,dx:
integral sec^4x,tan^2x,dx = integral tan^2x,sec^2x;l(sec^2x,dxr)
Com u=tan x temos du=sec^2x,dx, além de tan^2x=u^2 e sec^2x=1+u^2. Assim a integral passa a ser
integral u^2(1+u^2),du

Passo 4

Expandindo, obtemos
integral (u^2+u^4),du = integral u^2,du + integral u^4,du = u^33 + u^55 + C

Passo 5

Voltando à variável x com u=tan x, concluímos
integral sec^4x,tan^2x,dx = tan^3x3 + tan^5x5 + C

Resposta

tan^3x3 + tan^5x5 + C

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