Calcule as integrais indefinidas:
\int \frac{1}{1+e^{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
integral 11+e^x,dx
Conteúdo envolvido: técnica de substituição e frações parciais para integrar uma função racional em e^x.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = e^x, du = e^x,dx
Logo
dx = duu
e a integral fica
integral 11+e^x,dx = integral 11+u,duu = integral duu(1+u)

Passo 3

Decompomos em frações parciais:
1u(1+u) = Au + B1+u
Multiplicando ambos os lados por u(1+u) obtém-se
1 = A(1+u) + B,u = A + (A+B),u,
assim
A = 1, A + B = 0 implies B = -1
Portanto
integral duu(1+u) = integral l(1u - 11+ur),du

Passo 4

Integramos termo a termo:
integral 1u,du = lnlvert urvert, integral 11+u,du = lnlvert 1+urvert
Logo
integral l(1u - 11+ur),du = lnlvert urvert - lnlvert 1+urvert + C

Passo 5

Voltando a x com u=e^x, temos
lnlvert e^xrvert - lnlvert 1+e^xrvert + C = x - lnl(1+e^xr) + C

Resposta

integral 11+e^x,dx = x - lnl(1+e^xr) + C

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