Calcule as integrais indefinidas:
\int \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 1raizx+raiz[3]x,dx
O conteúdo envolve integração de funções com potências fracionárias e uso de substituição para simplificar a soma de raízes. Vamos usar a substituição t = x^1/6.

Passo 2

Fazendo t = x^1/6, temos
x = t^6, dx = 6t^5,dt,
além de
raizx = x^1/2 = t^3, raiz[3]x = x^1/3 = t^2
Logo o integrando vira
1t^3+t^2,dx = 6,t^5t^3+t^2,dt = 6,t^5t^2(t+1),dt = 6,t^3t+1,dt

Passo 3

Precisamos agora integrar
6integral t^3t+1,dt
Fazendo a divisão de polinômios:
t^3t+1 = t^2 - t + 1 - 1t+1
Portanto
6integral t^3t+1,dt = 6integrall(t^2 - t + 1r)dt ;-;6integral 1t+1,dt

Passo 4

Calculando cada parte:
integrall(t^2 - t + 1r)dt = t^33 - t^22 + t, integral 1t+1,dt = lnlvert t+1rvert
Logo a primitiva é
6l(tfract^33 - tfract^22 + tr) ;-;6lnlvert t+1rvert + C = 2t^3 - 3t^2 + 6t - 6lnlvert t+1rvert + C

Passo 5

Voltando a x com t = x^1/6, obtemos
2,l(x^1/6r)^3 -3,l(x^1/6r)^2 +6,x^1/6 -6lnl(1 + x^1/6r) + C,
ou seja
2raizx;-;3x^1/3;+;6x^1/6 ;-;6lnl(1 + x^1/6r) + C

Resposta

integral 1raizx+raiz[3]x,dx = 2raizx -3x^1/3 +6x^1/6 -6lnl(1 + x^1/6r) + C

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