Calcule as integrais indefinidas:
\int \operatorname{sec} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral sec x , dx
Isso envolve técnicas de integração de funções trigonométricas, em particular a substituição com uma combinação que gere no diferencial o numerador desejado.

Passo 2

Observamos que a derivada de sec x + tan x é
ddxl(sec x + tan xr) = sec xtan x + sec^2 x
Para obter esse termo no numerador, vamos multiplicar e dividir o integrando por sec x + tan x.

Passo 3

Reescrevendo a integral, temos
integral sec x , dx = integral sec x(sec x + tan x)sec x + tan x,dx = integral sec^2 x + sec xtan xsec x + tan x,dx
Agora fazemos a substituição
u = sec x + tan x Longrightarrow du = (sec^2 x + sec xtan x),dx

Passo 4

Com a troca, a integral vira
integral duu
que é imediata e igual a
lnl|ur| + C

Passo 5

Voltando a variável x, substituímos u = sec x + tan x
integral sec x , dx = lnl|sec x + tan xr| + C

Resposta

lnl|sec x + tan xr| + C

Exercícios relacionados