Calcule as integrais indefinidas:
\int \frac{x{2}}{(1+x)\left(1+x{6}\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede
integral x^2(1+x),(1+x^6),dx
O conteúdo principal é decomposição em frações parciais e uso de primitiva de
x^21+x^6 (que leva a arctan(x^3)) e de razões envolvendo quadráticos reais (que levam a ln e arctan de expressões lineares).

Passo 2

Fazemos a decomposição
x^2(x+1)(x^6+1) =Ax+1+Bx^5+Cx^4+Dx^3+Ex^2+Fx+Gx^6+1
Multiplicando por (x+1)(x^6+1) e igualando coeficientes, chega‐se a
A=tfrac12, B=-tfrac12,;C=tfrac12,;D=-tfrac12,;E=tfrac12,;F=tfrac12,;G=-tfrac12
Logo
x^2(x+1)(x^6+1) =12(x+1) +-x^5+x^4-x^3+x^2+x-12,(x^6+1)

Passo 3

Escrevemos o numerador da segunda fração como
-,x^5+x^4-x^3+x^2+x-1 =-16cdot6x^5+l(x^4-x^3+x^2+x-1r)
Portanto
integral -x^5x^6+1,dx =-16lnl(x^6+1r),
e resta integrar
x^4-x^3+x^2+x-1x^6+1.

Passo 4

Dissemos que
integralx^2x^6+1,dx
você reconhece pela substituição u=x^3, du=3x^2dx, obtendo
integralx^21+x^6dx =13arctanl(x^3r)
Para
integralx^4-x^3+x^2+x-1x^6+1dx
fatoramos x^6+1=(x^2+1)(x^4-x^2+1) e fazemos nova decomposição em frações parciais reais, levando a primitivas do tipo
ln(x^2pm x+1) e arctanl(2xpm1raiz3r).

Resposta

Uma forma condensada da antiderivada é
boxed integral x^2(1+x)(1+x^6),dx =12lnl|x+1r| +14raiz3,lnx^2-x+1,x^2+x+1, +12raiz3,arctan!l(2x-1raiz3r) +13arctan!l(x^3r)+C

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