Calcule as integrais indefinidas:
\int \frac{d x}{x^{2}+3 x-7}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral dxx^2+3x-7
O conteúdo principal aqui é integração de função racional. Para isso, vamos completar o quadrado no denominador e depois usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Começamos completando o quadrado em x^2+3x-7. Note que
x^2+3x-7 = l(x+tfrac32r)^2 - 94 -7 = l(x+tfrac32r)^2 - 374
Definindo
M = x+tfrac32, a = raiz372,
temos
x^2+3x-7 = M^2 - a^2

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de M,
integral dxM^2-a^2 com dM = dx
Fazendo a decomposição
1M^2-a^2 = 12al(1M-a - 1M+ar),
a integral vira
integral dxM^2-a^2 = 12aintegrall(1M-a - 1M+ar)dM

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
12aintegraldMM-a = 12alnl|M-ar|, 12aintegraldMM+a = 12alnl|M+ar|
Logo,
integral dxM^2-a^2 = 12al[lnl|M-ar| - lnl|M+ar|r] + C = 12alnl|M-aM+ar| + C
Substituindo M = x+tfrac32 e 2a = raiz37, obtemos
integral dxx^2+3x-7 = 1raiz37lnl|x+tfrac32-tfracraiz372x+tfrac32+tfracraiz372r| + C
Podemos também escrever em termos de 2x+3:
x+tfrac32pm tfracraiz372 = 2x+3pm raiz372,
e a razão interna simplifica os meios, mantendo o mesmo resultado.

Resposta

integral dxx^2+3x-7 = 1raiz37lnl|2x+3-raiz372x+3+raiz37r| + C

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