Calcule as integrais indefinidas:
\int \frac{d x}{x^{2}+3 x-7}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
O conteúdo principal aqui é integração de função racional. Para isso, vamos completar o quadrado no denominador e depois usar decomposição em frações parciais.
Passo 2
Começamos completando o quadrado em . Note que
Definindo
temos
Passo 3
Reescrevendo a integral em termos de ,
Fazendo a decomposição
a integral vira
Passo 4
Agora integramos termo a termo:
Logo,
integral dxM^2-a^2 = 12al[lnl|M-ar| - lnl|M+ar|r] + C = 12alnl|M-aM+ar| + C
Substituindo M = x+tfrac32 e 2a = raiz37, obtemos
integral dxx^2+3x-7 = 1raiz37lnl|x+tfrac32-tfracraiz372x+tfrac32+tfracraiz372r| + C
Podemos também escrever em termos de 2x+3:
x+tfrac32pm tfracraiz372 = 2x+3pm raiz372,
e a razão interna simplifica os meios, mantendo o mesmo resultado.
Resposta
integral dxx^2+3x-7 = 1raiz37lnl|2x+3-raiz372x+3+raiz37r| + C