Calcule as integrais indefinidas:
\int \sqrt{\frac{4-x}{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral raiz4 - xx,dx
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição trigonométrica, pois o integrando tem a forma raiza - xx.

Passo 2

Fazemos a substituição trigonométrica
x = 4sin^2theta, 0<=theta<=pi2,
para que
4 - x = 4cos^2theta, 4 - xx = 4cos^2theta4sin^2theta = cot^2theta
Além disso,
dx = 8sinthetacostheta,dtheta
Substituindo na integral,
raiz4 - xx = cottheta,
portanto
integral raiz4 - xx,dx = integral cottheta ,l(8sinthetacostheta,dthetar)

Passo 3

Simplificamos o integrando em theta:
cotthetacdot 8sinthetacostheta =8costhetasintheta,sinthetacostheta =8cos^2theta
Logo a integral vira
integral 8cos^2theta,dtheta =8integral cos^2theta,dtheta

Passo 4

Usamos a identidade cos^2theta = tfrac1+cos2theta2:
8integral cos^2theta,dtheta =8integral 1+cos2theta2,dtheta =4integral (1+cos2theta),dtheta =4l(theta + tfrac12sin2thetar)+C
Portanto, em termos de theta,
integral raiz4 - xx,dx =4theta +2sin2theta +C

Passo 5

Voltemos a x. Da substituição x=4sin^2theta temos
sintheta = raizx2, theta = arcsin!l(tfracraizx2r)
E
sin2theta = 2sinthetacostheta =2cdotraizx2cdotraiz4-x2 =raizx(4-x)2
Substituindo:
4theta = 4arcsin!l(raizx2r), 2sin2theta = 2cdotraizx(4-x)2 =raizx(4-x)

Resposta

integral raiz4 - xx,dx =4arcsin!l(raizx2r) +raizx(4-x)+C

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