Calcule as integrais indefinidas:
\int \sqrt{\frac{x}{1-x^{3}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral raizx1 - x^3,dx
O conteúdo principal aqui é reconhecer uma substituição que transforme x^3 em algo ao quadrado, permitindo usar a forma da integral de 1raiz1 - t^2.

Passo 2

Reescrevendo o integrando em potências, temos
raizx1 - x^3 = raizxraiz1 - x^3 = x^1/2raiz1 - x^3

Passo 3

Note que x^3 = (x^3/2)^2. Então definimos a substituição
t = x^3/2
Diferenciando,
dt = 32,x^1/2,dx Longrightarrow x^1/2,dx = 23,dt

Passo 4

Fazendo a troca na integral,
integral x^1/2raiz1 - x^3,dx = integral 1raiz1 - t^2,l(23,dtr) = 23integral dtraiz1 - t^2 = 23arcsin(t) + C

Passo 5

Voltando a variável original t = x^3/2, obtemos
integral raizx1 - x^3,dx = 23,arcsinl(x^3/2r) + C

Resposta

boxed23,arcsinl(x^3/2r) + C

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