Calcule as integrais indefinidas:
\int \frac{d x}{\sqrt{4 x^{2}-7 x+11}}

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral dxraiz4x^2-7x+11
O conteúdo da matéria aqui é integrar uma função do tipo integral dx/raizax^2+bx+c. Vamos usar o método de completar o quadrado no polinômio do radicando e depois aplicar a fórmula
integral duraizu^2+a^2 = lnl|u + raizu^2 + a^2r| + C

Passo 2

Começamos completando o quadrado em 4x^2-7x+11. Fatora-se 4 do termo quadrático:
4x^2-7x+11 = 4l(x^2 - tfrac74x + tfrac114r)
Dentro de parênteses, complete o quadrado:
x^2 - tfrac74x = l(x - tfrac78r)^2 - l(tfrac78r)^2 = l(x - tfrac78r)^2 - tfrac4964
Logo,
x^2 - tfrac74x + tfrac114 = l(x - tfrac78r)^2 + 114 - 4964 = l(x - tfrac78r)^2 + 12764
Assim
4x^2-7x+11 = 4l[l(x - tfrac78r)^2 + tfrac12764r] = 4l(x - tfrac78r)^2 + tfrac12716
Então
raiz4x^2-7x+11 = 2raizl(x - tfrac78r)^2 + tfrac12764

Passo 3

Fazemos a substituição
u = x - tfrac78, du = dx
A integral torna-se
integral dxraiz4x^2-7x+11 = integral du2raizu^2 + tfrac12764 = tfrac12 integral duraizu^2 + l(tfracraiz1278r)^2

Passo 4

Agora usamos a fórmula padrão
integral duraizu^2 + a^2 = lnl|u + raizu^2 + a^2r| + C
Aqui a = tfracraiz1278. Logo
tfrac12 integral duraizu^2 + l(tfracraiz1278r)^2 = tfrac12 lnl|u + raizu^2 + tfrac12764r| + C

Passo 5

Voltando a x, lembrando que u = x - tfrac78 e que
raizu^2+tfrac12764 = tfrac14raiz64u^2+127 = tfrac14raiz(8x-7)^2+127, obtemos
tfrac12 lnl|x - tfrac78 + raizl(x - tfrac78r)^2 + tfrac12764r| = tfrac12 lnl|8x-7 + raiz(8x-7)^2 + 127r| + C

Resposta

boxed integral dxraiz4x^2-7x+11 = 12,lnl|8x-7 + raiz(8x-7)^2 + 127r| + C

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