Calcule as integrais indefinidas:
\int \frac{d x}{x \sqrt{1+(\ln (x))^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral dxxraiz1+(ln(x))^2
Este é um caso clássico para usar substituição de variável, pois aparece ln(x) e sua derivada 1/x.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = ln(x), dt = dxx
Com isso a integral fica
integral dxxraiz1+(ln(x))^2 = integral dtraiz1+t^2

Passo 3

Reconhecemos que
integral dtraiz1+t^2 = arcsinh(t) + C,
onde arcsinh(t) é a função inversa do seno hiperbólico.

Passo 4

Voltando à variável original t=ln(x), obtemos
integral dxxraiz1+(ln(x))^2 = arcsinh(ln(x)) + C = ln!l(ln(x)+raiz1+(ln(x))^2r) + C

Resposta

arcsinh(ln(x)) + C

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