Calcule as integrais indefinidas:
\int \frac{5}{\sqrt{25 x^{2}-9}} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral 5raiz25x^2-9,dx
O conteúdo é integrais do tipo
integral dxraizx^2-a^2
cuja fórmula padrão é
integral dxraizx^2-a^2 =lnl|x+raizx^2-a^2r|+C

Passo 2

Para igualar ao padrão, note que
raiz25x^2-9 =raiz25l(x^2-tfrac925r) =5raizx^2-l(tfrac35r)^2
Então
5raiz25x^2-9 =55raizx^2-(tfrac35)^2 =1raizx^2-(tfrac35)^2
Logo a integral vira
integral dxraizx^2-(tfrac35)^2

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula com a=tfrac35:
integral dxraizx^2-a^2 =lnl|x+raizx^2-a^2r|+C
Substituindo a=tfrac35, obtemos
integral dxraizx^2-(tfrac35)^2 =lnl|x+raizx^2-(tfrac35)^2r|+C

Passo 4

Para simplificar, note que
x+raizx^2-(tfrac35)^2 =15l(5x+raiz25x^2-9r)
Como ln(tfrac15) é constante, podemos incorporar em C. Assim a forma mais usual é
lnl|5x+raiz25x^2-9r|+C

Resposta

integral 5raiz25x^2-9,dx =lnl|5x+raiz25x^2-9r|+C

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