Questão. Considere a equação de uma curva no plano dada por
Encontre e use este resultado para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto .
Passo 1
O enunciado dá a curva definida implicitamente por
e pede duas coisas: primeiro, calcular por diferenciação implícita; segundo, usar esse resultado para achar a reta tangente no ponto . Para isso usamos as regras de derivação de potências e a regra do produto.
Passo 2
Derivamos cada lado da igualdade em relação a . Do lado esquerdo,
a derivada de é e a de é .
Do lado direito, aplicamos a regra do produto em :
Passo 3
Reúnimos os termos com de um lado e os restantes do outro:
Fatorando :
Logo,
Passo 4
No ponto , substituímos na expressão de :
Portanto a inclinação da reta tangente é m = -1.
Passo 5
A equação da reta tangente no ponto (1,1) com coeficiente angular m=-1 usa a forma ponto-inclinação: