^a Questão. (2,0 pts) Considere a equação de uma curva no plano dada por
x^3+y^3=2 x y
Encontre d yd x e use este resultado para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto (x, y)=(1,1).

Passo 1

O enunciado dá a curva definida implicitamente por
x^3 + y^3 = 2xy
e pede duas coisas: primeiro, calcular dydx por diferenciação implícita; segundo, usar esse resultado para achar a reta tangente no ponto (1,1). Para isso usamos as regras de derivação de potências e a regra do produto.

Passo 2

Derivamos cada lado da igualdade em relação a x. Do lado esquerdo,
a derivada de x^3 é 3x^2 e a de y^3 é 3y^2dydx.
Do lado direito, aplicamos a regra do produto em 2xy:
ddx(2xy) = 2l(xdydx + ycdot1r) = 2xdydx + 2y

Passo 3

Reúnimos os termos com dydx de um lado e os restantes do outro:
3x^2 + 3y^2dydx = 2xdydx + 2y
3y^2dydx - 2xdydx = 2y - 3x^2
Fatorando dydx:
l(3y^2 - 2xr)dydx = 2y - 3x^2
Logo,
dydx = 2y - 3x^23y^2 - 2x

Passo 4

No ponto (x,y)=(1,1), substituímos na expressão de dydx:
dydx|(1,1) = 2cdot1 - 3cdot1^23cdot1^2 - 2cdot1 = 2 - 33 - 2 = -11 = -1
Portanto a inclinação da reta tangente é m = -1.

Passo 5

A equação da reta tangente no ponto (1,1) com coeficiente angular m=-1 usa a forma ponto-inclinação:
y - 1 = -1,(x - 1)
Simplificando,
y - 1 = -x + 1 Longrightarrow y = -x + 2

Resposta

A derivada é
dydx = 2y - 3x^23y^2 - 2x,
e a reta tangente no ponto (1,1) é
y = -x + 2

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