Calcule as integrais indefinidas:
\int \frac{\sqrt{x^{2}-49}}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral raizx^2-49x,dx
O conteúdo aqui é técnica de substituição trigonométrica para integrais com raizx^2-a^2. Vamos usar a substituição
x = 7sectheta,
pois raizx^2-49=raiz49sec^2theta-49=7tantheta.

Passo 2

Com x=7sectheta temos
dx = 7secthetatantheta,dtheta,
e
raizx^2-49=7tantheta
Substituindo na integral, o integrando vira
raizx^2-49x =7tantheta7sectheta =tanthetasectheta =sintheta,
portanto
integral raizx^2-49x,dx =integral sintheta;l(7secthetatantheta,dthetar)

Passo 3

Simplificando o produto em theta:
sinthetacdot 7secthetatantheta =7,sinthetacdot1costhetacdotsinthetacostheta =7,sin^2thetacos^2theta =7,tan^2theta
Logo a integral fica
integral 7,tan^2theta,dtheta =7integral tan^2theta,dtheta

Passo 4

Usamos a identidade tan^2theta=sec^2theta-1. Assim,
7integral tan^2theta,dtheta =7integral (sec^2theta-1),dtheta =7l(tantheta-thetar)+C

Passo 5

Voltam-se as variáveis em x. Temos
tantheta=raizx^2-497,
e também sectheta=x7, de onde theta=arccos!l(tfrac7xr). Portanto
7l(tantheta-thetar) =raizx^2-49 -7,arccos!l(7xr)+C

Resposta

integral raizx^2-49x,dx =raizx^2-49 -7,arccos!l(7xr)+C

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