Calcule as integrais indefinidas.
(a) \int \frac{2 x^{3}}{x^{2}+x} d x
(b) \int \frac{x-1}{x^{3}+x^{2}-4 x-4} d x
(c) \int \frac{x-1}{(x-1)^{2}(x-3)^{2}} d x
(d) \int \frac{\left(x^{2}+1\right)}{x^{4}-7 x^{3}+18 x^{2}-20 x+8} d x
(e) \int \frac{d x}{x^{3}-4 x^{2}}
(f) \int \frac{d x}{x\left(x^{2}-x+1\right)^{2}}
(g) \int \frac{x^{2}+2 x-1}{(x-1)^{2}\left(x^{2}+1\right)} d x
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais expressões temos para cada item. São sete integrais indefinidas a calcular:
Cada item pede uma primitiva (uma antiderivada). A estratégia geral que vou usar, item por item, é basicamente: simplificar quando possível, fatorar o denominador, aplicar decomposição em frações parciais (quando apropriado), usar substituições simples e fórmulas básicas de integrais (logaritmos para 1/x, arctan para 1/(x^{2}+1), potências para x^{n}, etc.). Não começo a resolver ainda; agora que está claro o que devemos encontrar, vamos para a resolução detalhada.
subtraio a primeira da segunda (ou resolvo direto): da segunda C=1-B\]. Substituo na primeira:
\[-5 = -2B + (1-B) = -3B +1 \Rightarrow -6 = -3B \Rightarrow B=2.\]
Então \(C=1-B=-1.
Multiplicando por x(x^{2}-x+1)^{2} obtemos uma identidade polinomial. Igualando coeficientes (ou avaliando sistematicamente) resulta em um sistema linear. Fazendo isso com cuidado encontra-se
Fica então a tarefa de calcular \displaystyle \int\frac{1}{u^{2}}\,dx. Faço a substituição de escala para reduzir a integral à forma \int \frac{dt}{(1+t^{2})^{2}} cujo resultado conhecido é
\int\frac{dt}{(1+t^{2})^{2}}=\frac{t}{2(1+t^{2})}+\frac{1}{2}\arctan t + C.
Definindo t=\dfrac{2x-1}{\sqrt{3}} (assim u=\dfrac{3}{4}(1+t^{2}) e dx=\dfrac{\sqrt{3}}{2}dt), obtém-se após simplificação:
\int\frac{1}{u^{2}}\,dx = \frac{1}{3}\cdot\frac{2x-1}{u} + \frac{4\sqrt{3}}{9}\arctan\!\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right) + C.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{2} que aparece acima, o contributo final do terceiro termo é