Calcule as integrais indefinidas.
(a) \int \frac{2 x^{3}}{x^{2}+x} d x
(b) \int \frac{x-1}{x^{3}+x^{2}-4 x-4} d x
(c) \int \frac{x-1}{(x-1)^{2}(x-3)^{2}} d x
(d) \int \frac{\left(x^{2}+1\right)}{x^{4}-7 x^{3}+18 x^{2}-20 x+8} d x
(e) \int \frac{d x}{x^{3}-4 x^{2}}
(f) \int \frac{d x}{x\left(x^{2}-x+1\right)^{2}}
(g) \int \frac{x^{2}+2 x-1}{(x-1)^{2}\left(x^{2}+1\right)} d x

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais expressões temos para cada item. São sete integrais indefinidas a calcular:
(a) \displaystyle \int \frac{2 x^{3}}{x^{2}+x}\,dx
(b) \displaystyle \int \frac{x-1}{x^{3}+x^{2}-4x-4}\,dx
(c) \displaystyle \int \frac{x-1}{(x-1)^{2}(x-3)^{2}}\,dx
(d) \displaystyle \int \frac{x^{2}+1}{x^{4}-7x^{3}+18x^{2}-20x+8}\,dx
(e) \displaystyle \int \frac{dx}{x^{3}-4x^{2}}
(f) \displaystyle \int \frac{dx}{x(x^{2}-x+1)^{2}}
(g) \displaystyle \int \frac{x^{2}+2x-1}{(x-1)^{2}(x^{2}+1)}\,dx
Cada item pede uma primitiva (uma antiderivada). A estratégia geral que vou usar, item por item, é basicamente: simplificar quando possível, fatorar o denominador, aplicar decomposição em frações parciais (quando apropriado), usar substituições simples e fórmulas básicas de integrais (logaritmos para 1/x, arctan para 1/(x^{2}+1), potências para x^{n}, etc.). Não começo a resolver ainda; agora que está claro o que devemos encontrar, vamos para a resolução detalhada.

Passo 2

Resolução do item (a).
Primeiro simplifico a fração:
\frac{2x^{3}}{x^{2}+x}=\frac{2x^{3}}{x(x+1)}=\frac{2x^{2}}{x+1}.
Faço divisão polinomial para simplificar \dfrac{2x^{2}}{x+1}. Dividindo x^{2} por x+1: x^{2}=(x+1)(x-1)+1, portanto
\frac{x^{2}}{x+1}=x-1+\frac{1}{x+1}.
Multiplico por 2:
\frac{2x^{2}}{x+1}=2x-2+\frac{2}{x+1}.
Integro termo a termo:
\int\left(2x-2+\frac{2}{x+1}\right)dx = \int 2x\,dx - \int 2\,dx + 2\int\frac{1}{x+1}\,dx.
As integrais são elementares:
\int 2x\,dx = x^{2},\qquad \int 2\,dx = 2x,\qquad \int\frac{1}{x+1}\,dx = \ln|x+1|.
Portanto uma primitiva é
x^{2}-2x+2\ln|x+1| + C.

Passo 3

Resolução do item (b).
Primeiro fatoro o denominador por agrupamento:
x^{3}+x^{2}-4x-4 = x^{2}(x+1)-4(x+1)=(x^{2}-4)(x+1)=(x-2)(x+2)(x+1).
Agora faço decomposição em frações parciais (todos fatores lineares distintos):
\frac{x-1}{(x-2)(x+2)(x+1)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{x+1}.
Multiplico ambos os lados por (x-2)(x+2)(x+1) e uso substituições para achar A,B,C.
Tomando x=2:
2-1=1=A(2+2)(2+1)=12A \Rightarrow A=\frac{1}{12}.
Tomando x=-2:
-2-1=-3=B(-2-2)(-2+1)=4B \Rightarrow B=-\frac{3}{4}.
Tomando x=-1:
-1-1=-2=C(-1-2)(-1+2)=-3C \Rightarrow C=\frac{2}{3}.
Então a integral vira soma de logaritmos:
\int\frac{x-1}{x^{3}+x^{2}-4x-4}\,dx = \frac{1}{12}\ln|x-2| - \frac{3}{4}\ln|x+2| + \frac{2}{3}\ln|x+1| + C.

Passo 4

Resolução do item (c).
Observação imediata: um fator (x-1) cancela parcialmente:
\frac{x-1}{(x-1)^{2}(x-3)^{2}}=\frac{1}{(x-1)(x-3)^{2}}.
Faço decomposição com polo simples em x=1 e polo duplo em x=3:
\frac{1}{(x-1)(x-3)^{2}}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-3}+\frac{C}{(x-3)^{2}}.
Multiplico e determino constantes. Usando x=1:
1=A(1-3)^{2}=4A \Rightarrow A=\frac{1}{4}.
Usando x=3:
1=C(3-1)=2C \Rightarrow C=\frac{1}{2}.
Para B escolho, por exemplo, x=0:
1 = A(0-3)^{2} + B(0-1)(0-3) + C(0-1).
Substituo A=\tfrac{1}{4}, C=\tfrac{1}{2}:
1 = \frac{1}{4}\cdot 9 + B\cdot(-1)\cdot(-3) + \frac{1}{2}\cdot(-1) = \frac{9}{4} + 3B - \frac{1}{2}.
Calculando:
1 = \frac{9}{4}-\frac{1}{2}+3B = \frac{7}{4}+3B \Rightarrow 3B = 1-\frac{7}{4} = -\frac{3}{4} \Rightarrow B=-\frac{1}{4}.
Logo a integral é
\int\left(\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x-1}-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x-3}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{(x-3)^{2}}\right)dx.
Integro termo a termo:
\frac{1}{4}\ln|x-1|-\frac{1}{4}\ln|x-3|+\frac{1}{2}\int (x-3)^{-2}dx.
E \int (x-3)^{-2}dx = -(x-3)^{-1}. Portanto
\frac{1}{4}\ln\left|\frac{x-1}{x-3}\right| - \frac{1}{2(x-3)} + C.

Passo 5

Resolução do item (d).
Primeiro fatoro o denominador. Procuro fatoração quadrática:
x^{4}-7x^{3}+18x^{2}-20x+8=(x^{2}-3x+2)(x^{2}-4x+4).
Verifico cada fator: x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2)\) e \(x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}\). Portanto o denominador é \[(x-1)(x-2)^{3}.
Fração parcial com um fator simples em x=1 e polo de ordem 3 em x=2:
\frac{x^{2}+1}{(x-1)(x-2)^{3}}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{(x-2)^{2}}+\frac{D}{(x-2)^{3}}.
Multiplico e obtenho (usando avaliação em pontos fáceis) as constantes:
  • x=1: 1^{2}+1=2 = A(1-2)^{3}=-A \Rightarrow A=-2.
  • x=2: 4+1=5 = D\Rightarrow D=5.
Para B,C uso outros valores, por exemplo x=0 e x=3.
Em x=0:
0^{2}+1 = 1 = A(-8)+B(-1)(4)+C(-1)(-2)+D(-1).
Substituo A=-2, D=5:
1 = 16 -4B +2C -5 \Rightarrow 1 = 11 -4B +2C \Rightarrow -10 = -4B +2C \Rightarrow -5 = -2B + C.
Em x=3:
9+1=10 = A(1)+B(2)(1) + C(2)(1) + D(2).
Substituo A=-2,D=5:
10 = -2 + 2B + 2C +10 \Rightarrow 2 = 2B + 2C \Rightarrow 1 = B + C.
Resolvendo o sistema
\begin{cases} -5 = -2B + C,\\[4pt] 1 = B + C, \end{cases}
subtraio a primeira da segunda (ou resolvo direto): da segunda C=1-B\]. Substituo na primeira: \[-5 = -2B + (1-B) = -3B +1 \Rightarrow -6 = -3B \Rightarrow B=2.\] Então \(C=1-B=-1.
Logo a decomposição é
\frac{x^{2}+1}{(x-1)(x-2)^{3}}=-\frac{2}{x-1}+\frac{2}{x-2}-\frac{1}{(x-2)^{2}}+\frac{5}{(x-2)^{3}}.
Integro termo a termo:
  • \displaystyle \int -\frac{2}{x-1}\,dx = -2\ln|x-1|.
  • \displaystyle \int \frac{2}{x-2}\,dx = 2\ln|x-2|.
  • \displaystyle \int -\frac{1}{(x-2)^{2}}\,dx = -\big(-\frac{1}{x-2}\big)=\frac{1}{x-2}.
  • \displaystyle \int \frac{5}{(x-2)^{3}}\,dx = 5\cdot\frac{(x-2)^{-2}}{-2} = -\frac{5}{2(x-2)^{2}}.
Somando,
-2\ln|x-1|+2\ln|x-2|+\frac{1}{x-2}-\frac{5}{2(x-2)^{2}} + C.]

Passo 6

Resolução do item (e).
Fatoro o denominador:
x^{3}-4x^{2}=x^{2}(x-4).
Decomposição em frações parciais com pólos em x=0 (ordem 2) e x=4:
\frac{1}{x^{2}(x-4)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{x-4}.
Multiplico e comparo coeficientes ou uso valores especiais.
Usando x=0:
1 = B(-4) \Rightarrow B=-\frac{1}{4}.
Usando x=4:
1 = C\cdot 16 \Rightarrow C=\frac{1}{16}.
Agora compare coeficientes: expandindo a identidade obtém-se A = -C = -\tfrac{1}{16}. (Também dá para verificar por comparação direta.)
Portanto
\frac{1}{x^{2}(x-4)}=-\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{x} -\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{16}\cdot\frac{1}{x-4}.
Integro termo a termo:
\int -\frac{1}{16}\frac{1}{x}\,dx = -\frac{1}{16}\ln|x|,
\int -\frac{1}{4}x^{-2}\,dx = -\frac{1}{4}\cdot\big(-\frac{1}{x}\big)=\frac{1}{4x},
\int \frac{1}{16}\frac{1}{x-4}\,dx = \frac{1}{16}\ln|x-4|.
Somando:
-\frac{1}{16}\ln|x| + \frac{1}{4x} + \frac{1}{16}\ln|x-4| + C.

Passo 7

Resolução do item (f).
Aqui o denominador tem um quadrático irreduzível ao quadrado. Faço decomposição geral:
\frac{1}{x(x^{2}-x+1)^{2}}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^{2}-x+1}+\frac{Dx+E}{(x^{2}-x+1)^{2}}.
Multiplicando por x(x^{2}-x+1)^{2} obtemos uma identidade polinomial. Igualando coeficientes (ou avaliando sistematicamente) resulta em um sistema linear. Fazendo isso com cuidado encontra-se
A=1,\qquad B=-1,\qquad C=1,\qquad D=-1,\qquad E=1.
Logo
\frac{1}{x(x^{2}-x+1)^{2}}=\frac{1}{x}+\frac{-x+1}{x^{2}-x+1}+\frac{-x+1}{(x^{2}-x+1)^{2}}.
Vou integrar os três termos separadamente. Denoto u=x^{2}-x+1. Então du=(2x-1)dx.
  1. \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|.
  2. Para \displaystyle \int \frac{-x+1}{u}\,dx escrevo o numerador em função de du. Observação:
-x+1 = -\tfrac{1}{2}(2x-1) + \tfrac{1}{2}.
Então
\int \frac{-x+1}{u}\,dx = -\tfrac{1}{2}\int\frac{2x-1}{u}\,dx + \tfrac{1}{2}\int\frac{1}{u}\,dx = -\tfrac{1}{2}\ln u + \tfrac{1}{2}\int\frac{1}{u}\,dx.
E \displaystyle \int\frac{1}{u}\,dx é a integral do tipo \int \frac{1}{(x-a)^{2}+b^{2}}dx. Completando o quadrado:
u=(x-\tfrac{1}{2})^{2}+\tfrac{3}{4},
logo
\int\frac{1}{u}\,dx = \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right).
Portanto
\int \frac{-x+1}{u}\,dx = -\tfrac{1}{2}\ln u + \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right).
  1. Agora \displaystyle \int \frac{-x+1}{u^{2}}\,dx. Faço a mesma decomposição do numerador:
\frac{-x+1}{u^{2}} = -\tfrac{1}{2}\frac{2x-1}{u^{2}} + \tfrac{1}{2}\frac{1}{u^{2}}.
O primeiro termo integra facilmente via du:
-\tfrac{1}{2}\int\frac{2x-1}{u^{2}}\,dx = -\tfrac{1}{2}\int\frac{1}{u^{2}}\,du = \frac{1}{2u}.
Fica então a tarefa de calcular \displaystyle \int\frac{1}{u^{2}}\,dx. Faço a substituição de escala para reduzir a integral à forma \int \frac{dt}{(1+t^{2})^{2}} cujo resultado conhecido é
\int\frac{dt}{(1+t^{2})^{2}}=\frac{t}{2(1+t^{2})}+\frac{1}{2}\arctan t + C.
Definindo t=\dfrac{2x-1}{\sqrt{3}} (assim u=\dfrac{3}{4}(1+t^{2}) e dx=\dfrac{\sqrt{3}}{2}dt), obtém-se após simplificação:
\int\frac{1}{u^{2}}\,dx = \frac{1}{3}\cdot\frac{2x-1}{u} + \frac{4\sqrt{3}}{9}\arctan\!\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right) + C.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{2} que aparece acima, o contributo final do terceiro termo é
\frac{1}{6}\cdot\frac{2x-1}{u} + \frac{2\sqrt{3}}{9}\arctan\!\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right).
Somando 2) e 3) (os termos sobre u) e reunindo com \ln|x| do caso 1), obtemos — após agrupar termos semelhantes —:
\ln|x|-\tfrac{1}{2}\ln u + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{2\sqrt{3}}{9}\right)\arctan\!\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right) +\frac{x+1}{3u} + C.
Simplificando o coeficiente de \arctan:
\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{2\sqrt{3}}{9}=\frac{5\sqrt{3}}{9}.
Portanto uma forma conveniente da primitiva é
\ln|x|-\tfrac{1}{2}\ln(x^{2}-x+1)+\frac{5\sqrt{3}}{9}\arctan\!\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)+\frac{x+1}{3(x^{2}-x+1)}+C.

Passo 8

Resolução do item (g).
Faço decomposição em frações parciais combinando polo duplo em x=1 e fator quadrático x^{2}+1 irreduzível:
\frac{x^{2}+2x-1}{(x-1)^{2}(x^{2}+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^{2}}+\frac{Cx+D}{x^{2}+1}.
Multiplico e igualo coeficientes (ou avalio em pontos apropriados). Avaliando x=1:
1^{2}+2\cdot1-1=2 = B(1^{2}+1)=2B \Rightarrow B=1.
Para os demais coeficientes resolvo o sistema (ou uso pontos x=0 e x=-1 e comparação de coeficientes). Resolvendo obtém-se
A=1,\qquad B=1,\qquad C=-1,\qquad D=-1.
Portanto
\frac{x^{2}+2x-1}{(x-1)^{2}(x^{2}+1)}=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^{2}}+\frac{-x-1}{x^{2}+1}.
Integro termo a termo:
  • \displaystyle \int \frac{1}{x-1}\,dx = \ln|x-1|.
  • \displaystyle \int \frac{1}{(x-1)^{2}}\,dx = -\frac{1}{x-1}.
  • \displaystyle \int \frac{-x-1}{x^{2}+1}\,dx = -\frac{1}{2}\int\frac{2x}{x^{2}+1}\,dx - \int\frac{1}{x^{2}+1}\,dx
= -\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1) - \arctan x.
Somando tudo:
\ln|x-1| - \frac{1}{x-1} - \frac{1}{2}\ln(x^{2}+1) - \arctan x + C.

Resposta

(a) x^{2}-2x+2\ln|x+1| + C
(b) \dfrac{1}{12}\ln|x-2| - \dfrac{3}{4}\ln|x+2| + \dfrac{2}{3}\ln|x+1| + C
(c) \dfrac{1}{4}\ln\left|\dfrac{x-1}{x-3}\right| - \dfrac{1}{2(x-3)} + C
(d) -2\ln|x-1|+2\ln|x-2|+\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{5}{2(x-2)^{2}} + C
(e) -\dfrac{1}{16}\ln|x| + \dfrac{1}{4x} + \dfrac{1}{16}\ln|x-4| + C
(f) \displaystyle \ln|x|-\tfrac{1}{2}\ln(x^{2}-x+1)+\frac{5\sqrt{3}}{9}\arctan\!\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)+\frac{x+1}{3(x^{2}-x+1)} + C
(g) \displaystyle \ln|x-1| - \frac{1}{x-1} - \frac{1}{2}\ln(x^{2}+1) - \arctan x + C

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