Encontre o volume do sólido gerado pela revolução da região formada pelos gráficos das funções
e
, em relação ao eixo
.
Passo 1
O enunciado dá as duas curvas no plano:
-
, -
,
e pede o volume do sólido obtido ao girar a região limitada por essas duas curvas em torno do eixo
.
As interseções entre as curvas determinam o trecho em onde a região existe (esses pontos serão calculados no próximo passo).
As interseções entre as curvas determinam o trecho em
Passo 2
Qual método usar? Aqui vai a ideia com calma: como o eixo de revolução é o eixo
(vertical) e as curvas estão dadas na forma
, é natural usar o método dos “discos com furo” (washers) integrando em
.
Explicando a fórmula dos washers (aula rápida e prática): considere uma fatia horizontal da região, numa altura
. Ao girar essa fatia em torno do eixo
obtemos um anel circular cuja área é a área do círculo externo menos a do círculo interno:
onde
-
é a distância máxima do eixo até a fronteira externa da região (raio externo), -
é a distância do eixo até a fronteira interna (raio interno).
O volume é a soma (integral) dessas áreas ao longo do intervalo em
:
Aqui: explicar o que cada símbolo significa (já feito) —
são as ordens (valores de
) das interseções das curvas que delimitam a região.
Passo 3
Encontrar os pontos de interseção das curvas resolvendo
Reorganizando:
Fatora-se:
Logo as soluções são
Portanto a região está entre
e
.
Passo 4
Determinar qual curva é a fronteira externa e qual é a interna (para um dado
entre
e
). Compare
Note que
. Para
temos
e
, então
, logo
. Em palavras: no intervalo de interesse a reta
fica à direita da parábola
.
Portanto, ao girar em torno do eixo
:
- raio externo
, - raio interno
.
Passo 5
Montar a integral do volume pelo método dos washers:
Simplificando o integrando:
logo
Passo 6
Calcular a integral passo a passo. Uma antiderivada do integrando é
Avaliar de
a
:
Calculemos
em forma exata:
Simplificando o parêntese:
Então
Colocando tudo sobre o denominador
:
logo
Por fim, multiplicando por
,