Encontre o volume do sólido gerado pela revolução da região formada pelos gráficos das funções x=y^{2} e x=y+2, em relação ao eixo y.

Passo 1

O enunciado dá as duas curvas no plano:
  • x=y^{2},
  • x=y+2,
e pede o volume do sólido obtido ao girar a região limitada por essas duas curvas em torno do eixo y.
As interseções entre as curvas determinam o trecho em y onde a região existe (esses pontos serão calculados no próximo passo).

Passo 2

Qual método usar? Aqui vai a ideia com calma: como o eixo de revolução é o eixo y (vertical) e as curvas estão dadas na forma x=\text{função de }yçã, é natural usar o método dos “discos com furo” (washers) integrando em y.
Explicando a fórmula dos washers (aula rápida e prática): considere uma fatia horizontal da região, numa altura y. Ao girar essa fatia em torno do eixo y obtemos um anel circular cuja área é a área do círculo externo menos a do círculo interno:
\text{área}(y)=\pi\big(R(y)^{2}-r(y)^{2}\big),á
onde
  • R(y) é a distância máxima do eixo y até a fronteira externa da região (raio externo),
  • r(y) é a distância do eixo até a fronteira interna (raio interno).
O volume é a soma (integral) dessas áreas ao longo do intervalo em y:
V=\int_{y_{1}}^{y_{2}} \pi\big(R(y)^{2}-r(y)^{2}\big)\,dy.
Aqui: explicar o que cada símbolo significa (já feito) — y_{1},y_{2} são as ordens (valores de y) das interseções das curvas que delimitam a região.

Passo 3

Encontrar os pontos de interseção das curvas resolvendo
y^{2}=y+2.
Reorganizando:
y^{2}-y-2=0.
Fatora-se:
(y-2)(y+1)=0.
Logo as soluções são
y=2\quad\text{e}\quad y=-1.
Portanto a região está entre y=-1 e y=2.

Passo 4

Determinar qual curva é a fronteira externa e qual é a interna (para um dado y entre -1 e 2). Compare
x_{\text{reta}}-(x_{\text{parábola}})=(y+2)-y^{2}.á
Note que y^{2}-y-2=(y-2)(y+1). Para y\in(-1,2) temos (y-2)<0 e (y+1)>0, então (y-2)(y+1)<0, logo (y+2)-y^{2}>0. Em palavras: no intervalo de interesse a reta x=y+2 fica à direita da parábola x=y^{2}.
Portanto, ao girar em torno do eixo y:
  • raio externo R(y)=y+2,
  • raio interno r(y)=y^{2}.

Passo 5

Montar a integral do volume pelo método dos washers:
V=\int_{-1}^{2}\pi\big((y+2)^{2}-(y^{2})^{2}\big)\,dy.
Simplificando o integrando:
(y+2)^{2}=y^{2}+4y+4,\qquad (y^{2})^{2}=y^{4},
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V=\pi\int_{-1}^{2}\big(-y^{4}+y^{2}+4y+4\big)\,dy.

Passo 6

Calcular a integral passo a passo. Uma antiderivada do integrando é
F(y)=-\frac{y^{5}}{5}+\frac{y^{3}}{3}+2y^{2}+4y.
Avaliar de -1 a 2:
F(2)=-\frac{2^{5}}{5}+\frac{2^{3}}{3}+2\cdot2^{2}+4\cdot2 =-\frac{32}{5}+\frac{8}{3}+8+8,
F(-1)=-\frac{(-1)^{5}}{5}+\frac{(-1)^{3}}{3}+2\cdot(-1)^{2}+4\cdot(-1) =\frac{1}{5}-\frac{1}{3}+2-4.
Calculemos F(2)-F(-1) em forma exata:
F(2)-F(-1)=-\frac{32}{5}+\frac{8}{3}+16-\Big(\frac{1}{5}-\frac{1}{3}-2\Big).
Simplificando o parêntese:
\frac{1}{5}-\frac{1}{3}-2=\frac{1}{5}-\frac{1}{3}-\frac{30}{15}=\frac{3-5}{15}-2=-\frac{2}{15}-2=-\frac{32}{15}.
Então
F(2)-F(-1)=-\frac{32}{5}+\frac{8}{3}+16+\frac{32}{15}.
Colocando tudo sobre o denominador 15:
-\frac{32}{5}=-\frac{96}{15},\qquad \frac{8}{3}=\frac{40}{15},\qquad 16=\frac{240}{15},
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F(2)-F(-1)=\frac{-96+40+240+32}{15}=\frac{216}{15}=\frac{72}{5}.
Por fim, multiplicando por \pi,
V=\pi\cdot\frac{72}{5}=\frac{72\pi}{5}.

Resposta

\dfrac{72\pi}{5}

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