Calcule as integrais indefinidas.
(a) \int \frac{d x}{x^{2} \sqrt{x^{2}-5}}
(b) \int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2}-9}} d x
(c) \int \frac{5 x+4}{x^{3} \sqrt{x^{2}+1}} d x
(d) \int \frac{e^{x}}{\sqrt{e^{2 x}+1}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular as integrais indefinidas abaixo (cada item é uma integral a ser encontrada):
(a) \displaystyle \int \frac{d x}{x^{2} \sqrt{x^{2}-5}}
(b) \displaystyle \int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2}-9}}\,d x
(c) \displaystyle \int \frac{5 x+4}{x^{3} \sqrt{x^{2}+1}}\,d x
(d) \displaystyle \int \frac{e^{x}}{\sqrt{e^{2 x}+1}}\,d x
Informações relevantes que o enunciado dá (implícitas):
  • São integrais indefinidas; devemos encontrar antiderivadas (função primitiva + constante).
  • Aparecem raízes do tipo \sqrt{x^{2}\pm a} e funções exponenciais; substituições adequadas ou transformações algébricas costumam simplificar esses casos.
  • Não foram dadas condições de sinal para x; onde necessário, assumiremos o domínio natural (por exemplo, x^{2}-5>0 quando usado \sqrt{x^{2}-5}), e as fórmulas serão válidas nesse domínio até indicação em contrário.

Passo 2

Resolução do item (a).
Vamos atacar
\int \frac{d x}{x^{2}\sqrt{x^{2}-5}}.
Estratégia: fazer uma substituição que reduza a raiz a uma variável simples. Defina
u=\sqrt{x^{2}-5}.
Explicando: u é uma função de x. Então u^{2}=x^{2}-5, isto é x^{2}=u^{2}+5. Diferenciando, 2u\,du=2x\,dx, logo
dx=\frac{u}{x}\,du.
Agora substituímos na integral. O integrando original é \dfrac{1}{x^{2}u} e dx=\dfrac{u}{x}du, então
\frac{1}{x^{2}u}\,dx=\frac{1}{x^{2}u}\cdot\frac{u}{x}\,du=\frac{1}{x^{3}}\,du.
Como x^{2}=u^{2}+5, temos x=(u^{2}+5)^{1/2} e
\frac{1}{x^{3}}=(u^{2}+5)^{-3/2}.
Portanto a integral fica
\int (u^{2}+5)^{-3/2}\,du.
Agora usamos a primitiva padrão (mostro como obter): para a>0 vale
\int \frac{du}{(u^{2}+a^{2})^{3/2}}=\frac{u}{a^{2}\sqrt{u^{2}+a^{2}}}+C.
Verificação rápida (derivando o lado direito) confirma a fórmula. Aqui a^{2}=5 (assim a=\sqrt{5}), então
\int (u^{2}+5)^{-3/2}\,du=\frac{u}{5\sqrt{u^{2}+5}}+C.
Voltando para x: u=\sqrt{x^{2}-5} e \sqrt{u^{2}+5}=\sqrt{x^{2}}=x (no domínio onde x>0; para x<0 a forma em valor absoluto aparece, mas mantemos a forma padrão). Assim a primitiva é
\frac{\sqrt{x^{2}-5}}{5x}+C.

Passo 3

Resolução do item (b).
Começamos com
\int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2}-9}}\,dx.
Estratégia: observar que x^{3}=x^{2}\cdot x e que a derivada de x^{2}-9 é 2x, então a substituição u=x^{2}-9 é natural. Defina
u=x^{2}-9\quad\Rightarrow\quad du=2x\,dx\quad\Rightarrow\quad x\,dx=\frac{du}{2}.
Além disso x^{2}=u+9. Reescrevendo o integrando:
\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2}-9}}\,dx=\frac{x^{2}\cdot x}{\sqrt{u}}\,dx=\frac{u+9}{\sqrt{u}}\cdot\frac{du}{2}.
Logo
\int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2}-9}}\,dx=\frac{1}{2}\int \left(u^{1/2}+9u^{-1/2}\right)\,du.
Integramos termo a termo:
\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}u^{3/2}+9\cdot 2u^{1/2}\right)+C=\frac{1}{3}u^{3/2}+9u^{1/2}+C.
Voltando a x (lembre que u=x^{2}-9):
\boxed{\frac{1}{3}\bigl(x^{2}-9\bigr)^{3/2}+9\bigl(x^{2}-9\bigr)^{1/2}+C.}

Passo 4

Resolução do item (c).
Queremos
\int \frac{5 x+4}{x^{3}\sqrt{x^{2}+1}}\,dx.
Observação: a presença de potências de x no denominador sugere uma transformação u=\dfrac{1}{x} que troca potências negativas por potências positivas; isso costuma simplificar quando aparece x no denominador e \sqrt{x^{2}+1} no denominador. Então fazemos
u=\frac{1}{x}\quad\Rightarrow\quad x=\frac{1}{u},\quad dx=-\frac{1}{u^{2}}\,du.
Também
\sqrt{x^{2}+1}=\sqrt{\frac{1}{u^{2}}+1}=\frac{\sqrt{1+u^{2}}}{|u|}.
Para facilitar a apresentação suponhamos x>0 (então u>0 e |u|=u); as fórmulas podem ser ajustadas com valores absolutos se necessário. Substituindo:
o numerador 5x+4=5\frac{1}{u}+4=\frac{5+4u}{u}.
O denominador x^{3}\sqrt{x^{2}+1}=\frac{1}{u^{3}}\cdot\frac{\sqrt{1+u^{2}}}{u}=\frac{\sqrt{1+u^{2}}}{u^{4}}.
Assim a fração vira
\frac{5x+4}{x^{3}\sqrt{x^{2}+1}}=\frac{\frac{5+4u}{u}}{\frac{\sqrt{1+u^{2}}}{u^{4}}}=\frac{(5+4u)u^{3}}{\sqrt{1+u^{2}}}.
Multiplicando por dx=-\dfrac{1}{u^{2}}du obtemos o integrando em u:
\frac{5x+4}{x^{3}\sqrt{x^{2}+1}}\,dx = -\frac{(5+4u)u^{3}}{\sqrt{1+u^{2}}}\cdot\frac{1}{u^{2}}\,du = -\frac{5u+4u^{2}}{\sqrt{1+u^{2}}}\,du.
Portanto
\int \frac{5 x+4}{x^{3}\sqrt{x^{2}+1}}\,dx = -\int \frac{4u^{2}+5u}{\sqrt{1+u^{2}}}\,du.
Agora dividimos e integramos em partes simples:
-\int \frac{4u^{2}+5u}{\sqrt{1+u^{2}}}\,du = -4\int \frac{u^{2}}{\sqrt{1+u^{2}}}\,du -5\int \frac{u}{\sqrt{1+u^{2}}}\,du.
A integral \displaystyle \int \frac{u}{\sqrt{1+u^{2}}}\,du é direta: faça v=1+u^{2}, então dv=2u\,du, ou reconheça que a derivada de \sqrt{1+u^{2}} é \dfrac{u}{\sqrt{1+u^{2}}}. Logo
\int \frac{u}{\sqrt{1+u^{2}}}\,du=\sqrt{1+u^{2}}.
A integral \displaystyle \int \frac{u^{2}}{\sqrt{1+u^{2}}}\,du resolvemos escrevendo u^{2}=(u^{2}+1)-1:
\int \frac{u^{2}}{\sqrt{1+u^{2}}}\,du = \int \frac{u^{2}+1}{\sqrt{1+u^{2}}}\,du - \int \frac{1}{\sqrt{1+u^{2}}}\,du = \int \sqrt{1+u^{2}}\,du - \operatorname{arsinh}(u),
onde \operatorname{arsinh}(u)=\ln\!\bigl(u+\sqrt{1+u^{2}}\bigr) é a primitiva de \dfrac{1}{\sqrt{1+u^{2}}}.
Falta \displaystyle \int \sqrt{1+u^{2}}\,du. Uma primitiva padrão (obtida por partes) é
\int \sqrt{1+u^{2}}\,du=\frac{u}{2}\sqrt{1+u^{2}}+\frac{1}{2}\ln\!\bigl(u+\sqrt{1+u^{2}}\bigr)+C.
Usando isso,
\int \frac{u^{2}}{\sqrt{1+u^{2}}}\,du = \frac{u}{2}\sqrt{1+u^{2}}+\frac{1}{2}\ln\!\bigl(u+\sqrt{1+u^{2}}\bigr)-\ln\!\bigl(u+\sqrt{1+u^{2}}\bigr)+C = \frac{u}{2}\sqrt{1+u^{2}}-\frac{1}{2}\ln\!\bigl(u+\sqrt{1+u^{2}}\bigr)+C.
Agora voltamos à combinação:
-4\left(\frac{u}{2}\sqrt{1+u^{2}}-\frac{1}{2}\ln\!\bigl(u+\sqrt{1+u^{2}}\bigr)\right)-5\sqrt{1+u^{2}}+C.
Simplificando coeficientes:
-2u\sqrt{1+u^{2}}+2\ln\!\bigl(u+\sqrt{1+u^{2}}\bigr)-5\sqrt{1+u^{2}}+C.
Agrupando os termos com \sqrt{1+u^{2}}:
2\ln\!\bigl(u+\sqrt{1+u^{2}}\bigr)-(2u+5)\sqrt{1+u^{2}}+C.
Finalmente retornamos a x usando u=1/x e \sqrt{1+u^{2}}=\dfrac{\sqrt{x^{2}+1}}{x} (para x>0). Então
2\ln\!\Bigl(\frac{1}{x}+\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}\Bigr)-(2\cdot\frac{1}{x}+5)\cdot\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}+C.
Podemos simplificar o logaritmo:
\frac{1}{x}+\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}=\frac{1+\sqrt{x^{2}+1}}{x},
então uma forma limpa e compacta da primitiva é
\boxed{2\ln\!\left(\frac{1+\sqrt{x^{2}+1}}{x}\right)-\frac{(5x+2)\sqrt{x^{2}+1}}{x^{2}}+C.}
(Observe que a constante de integração pode absorver sinais e constantes decorrentes de manipulações de \ln x, e que, se necessário, usar valores absolutos em \ln e \dfrac{\sqrt{x^{2}+1}}{x} garante validade em outros quadrantes.)

Passo 5

Resolução do item (d).
Temos a integral
\int \frac{e^{x}}{\sqrt{e^{2x}+1}}\,dx.
Fazendo a substituição natural u=e^{x} (porque du=e^{x}dx), obtemos
\int \frac{e^{x}}{\sqrt{e^{2x}+1}}\,dx=\int \frac{du}{\sqrt{u^{2}+1}}.
A primitiva de \dfrac{1}{\sqrt{u^{2}+1}} é a função \operatorname{arsinh}(u), que pode ser escrita em termos de logaritmo:
\operatorname{arsinh}(u)=\ln\!\bigl(u+\sqrt{u^{2}+1}\bigr).
Portanto, voltando a x,
\boxed{\ln\!\bigl(e^{x}+\sqrt{e^{2x}+1}\bigr)+C.}

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{x^{2}-5}}{5x}+C
\displaystyle \frac{1}{3}\bigl(x^{2}-9\bigr)^{3/2}+9\bigl(x^{2}-9\bigr)^{1/2}+C
\displaystyle 2\ln\!\left(\frac{1+\sqrt{x^{2}+1}}{x}\right)-\frac{(5x+2)\sqrt{x^{2}+1}}{x^{2}}+C
\displaystyle \ln\!\bigl(e^{x}+\sqrt{e^{2x}+1}\bigr)+C

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