Calcule as integrais indefinidas.
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado pede calcular as integrais indefinidas abaixo (cada item é uma integral a ser encontrada):
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Informações relevantes que o enunciado dá (implícitas):
- São integrais indefinidas; devemos encontrar antiderivadas (função primitiva + constante).
- Aparecem raízes do tipo
e funções exponenciais; substituições adequadas ou transformações algébricas costumam simplificar esses casos. - Não foram dadas condições de sinal para
; onde necessário, assumiremos o domínio natural (por exemplo, quando usado ), e as fórmulas serão válidas nesse domínio até indicação em contrário.
Passo 2
Resolução do item (a).
Vamos atacar
Vamos atacar
Estratégia: fazer uma substituição que reduza a raiz a uma variável simples. Defina
Explicando:
é uma função de
. Então
, isto é
. Diferenciando,
, logo
Agora substituímos na integral. O integrando original é
e
, então
Como
, temos
e
Portanto a integral fica
Agora usamos a primitiva padrão (mostro como obter): para
vale
Verificação rápida (derivando o lado direito) confirma a fórmula. Aqui
(assim
), então
Voltando para
:
e
(no domínio onde
; para
a forma em valor absoluto aparece, mas mantemos a forma padrão). Assim a primitiva é
Passo 3
Resolução do item (b).
Começamos com
Começamos com
Estratégia: observar que
e que a derivada de
é
, então a substituição
é natural. Defina
Além disso
. Reescrevendo o integrando:
Logo
Integramos termo a termo:
Voltando a
(lembre que
):
Passo 4
Resolução do item (c).
Queremos
Queremos
Observação: a presença de potências de
no denominador sugere uma transformação
que troca potências negativas por potências positivas; isso costuma simplificar quando aparece
no denominador e
no denominador. Então fazemos
Também
Para facilitar a apresentação suponhamos
(então
e
); as fórmulas podem ser ajustadas com valores absolutos se necessário. Substituindo:
o numerador .
O denominador .
Assim a fração vira
o numerador
O denominador
Assim a fração vira
Multiplicando por
obtemos o integrando em
:
Portanto
Agora dividimos e integramos em partes simples:
A integral
é direta: faça
, então
, ou reconheça que a derivada de
é
. Logo
A integral
resolvemos escrevendo
:
onde
é a primitiva de
.
Falta
. Uma primitiva padrão (obtida por partes) é
Usando isso,
Agora voltamos à combinação:
Simplificando coeficientes:
Agrupando os termos com
:
Finalmente retornamos a
usando
e
(para
). Então
Podemos simplificar o logaritmo:
então uma forma limpa e compacta da primitiva é
(Observe que a constante de integração pode absorver sinais e constantes decorrentes de manipulações de
, e que, se necessário, usar valores absolutos em
e
garante validade em outros quadrantes.)
Passo 5
Resolução do item (d).
Temos a integral
Temos a integral
Fazendo a substituição natural
(porque
), obtemos
A primitiva de
é a função
, que pode ser escrita em termos de logaritmo:
Portanto, voltando a
,