Nos problemas de 1 a 6, determine se o método de separação de variáveis pode ser usado para substituir a equação diferencial parcial dada por um par de equações diferenciais ordinárias. Nesse caso, encontre as equações.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para determinar se o método de separação de variáveis pode ser usado para transformar essa equação diferencial parcial em um par de equações diferenciais ordinárias; em caso afirmativo, encontrar essas equações.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
-
é uma função que depende apenas de . -
é uma função que depende apenas de . - A equação envolve derivadas espaciais por
(através de ) e derivadas temporais por (através de ). - Não foram dadas condições de contorno ou de inicialização — só a equação principal.
Passo 2
Ideia do método (sem usar jargões demais): suponha que a solução possa ser escrita como produto de uma parte que depende só de
e outra que depende só de
. Ou seja, proponha a forma separada
onde
é uma função de
só e
é uma função de
só. Essa suposição é padrão: se existir uma solução não-trivial que separe as variáveis, ela tem essa forma (ou combinações lineares dessas formas).
Passo 3
Calcule as derivadas que aparecem na equação usando
.
- Derivada parcial em
:
Então
- Derivada segunda em
:
Esses cálculos são apenas aplicação da regra do produto (mas aqui é simples porque cada fator depende de uma única variável).
Passo 4
Substitua essas expressões na equação original:
Agora reorganize para separar totalmente as partes que dependem só de
das que dependem só de
. Uma maneira útil é dividir por
, assumindo momentaneamente que
e
na região considerada (caso contrário a separação trivial precisa de tratamento à parte). Fazendo a divisão obtemos
Passo 5
Observe o ponto-chave do método: o primeiro termo depende apenas de
e o segundo apenas de
. Isso só pode acontecer para todos os
se cada termo for igual a uma constante (porque uma função de
que é igual a uma função de
para todo
deve ser constante). Introduzimos, então, uma constante de separação que chamaremos de
. Há duas convenções comuns; vamos escolher a que leva a uma forma espacial do tipo autovalor (útil em muitos problemas):
Essa escolha de sinal (o menos) é apenas convenção: ela faz com que a equação temporal fique na forma familiar
quando
, e a espacial tenha a forma
.
Passo 6
Escreva explicitamente as duas equações ordinárias obtidas da separação:
- Equação ordinária em
:
- Equação ordinária em
:
Explique cada termo: em
está o operador diferencial espacial envolvendo a função
; o termo
atua como “potencial” ou peso que depende de
. A constante
é o parâmetro que liga as duas equações (em problemas com contornos,
normalmente será determinado como autovalor através das condições de contorno).
Passo 7
Comentários didáticos e hipóteses necessárias (pra prova e pra não se assustar):
- A separação foi possível porque os coeficientes da equação original dependem apenas de
(não de ). Se houvesse dependência mista em (por exemplo ou ), a técnica não se aplica diretamente. - Assumiu-se
na região (senão não dá para dividir por ). Se muda de sinal ou é zero em pontos, o problema precisa de tratamento cuidadoso localmente. - A escolha do sinal para a constante
é uma convenção útil: outras escolhas apenas trocam o sinal em ambas as equações correspondentes. - Em muitos problemas práticos essa forma espacial
é um problema de Sturm–Liouville (autovalores
) quando acompanhado de condições de contorno adequadas; aí a separação gera uma série de modos próprios
que compõem a solução geral.
Passo 8
Pequeno exemplo ilustrativo (bem simples): se
e
, as equações ficam
que já é uma situação clássica (ondas estacionárias). Isso mostra que a forma geral que obtivemos é consistente com casos conhecidos.