Nos problemas de 1 a 6, determine se o método de separação de variáveis pode ser usado para substituir a equação diferencial parcial dada por um par de equações diferenciais ordinárias. Nesse caso, encontre as equações.
\left[p(x) u_{x}\right]_{x}-r(x) u_{t t}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação
\left[p(x)\,u_{x}\right]_{x}-r(x)\,u_{t t}=0,
e pede para determinar se o método de separação de variáveis pode ser usado para transformar essa equação diferencial parcial em um par de equações diferenciais ordinárias; em caso afirmativo, encontrar essas equações.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • p(x) é uma função que depende apenas de x.
  • r(x) é uma função que depende apenas de x.
  • A equação envolve derivadas espaciais por x (através de [p(x)u_x]_x) e derivadas temporais por t (através de u_{tt}).
  • Não foram dadas condições de contorno ou de inicialização — só a equação principal.

Passo 2

Ideia do método (sem usar jargões demais): suponha que a solução possa ser escrita como produto de uma parte que depende só de x e outra que depende só de t. Ou seja, proponha a forma separada
u(x,t)=X(x)\,T(t),
onde X é uma função de x só e T é uma função de t só. Essa suposição é padrão: se existir uma solução não-trivial que separe as variáveis, ela tem essa forma (ou combinações lineares dessas formas).

Passo 3

Calcule as derivadas que aparecem na equação usando u(x,t)=X(x)T(t).
  • Derivada parcial em x:
u_x = X'(x)\,T(t).
Então
\left[p(x)u_x\right]_x = \left[p(x)X'(x)\right]' \, T(t).
  • Derivada segunda em t:
u_{tt} = X(x)\,T''(t).
Esses cálculos são apenas aplicação da regra do produto (mas aqui é simples porque cada fator depende de uma única variável).

Passo 4

Substitua essas expressões na equação original:
\left[p(x)X'(x)\right]' \, T(t) - r(x)\,X(x)\,T''(t)=0.
Agora reorganize para separar totalmente as partes que dependem só de x das que dependem só de t. Uma maneira útil é dividir por r(x)\,X(x)\,T(t), assumindo momentaneamente que r(x)\neq0 e X(x)T(t)\neq0 na região considerada (caso contrário a separação trivial precisa de tratamento à parte). Fazendo a divisão obtemos
\frac{\left[p(x)X'(x)\right]'}{r(x)X(x)} - \frac{T''(t)}{T(t)} = 0.

Passo 5

Observe o ponto-chave do método: o primeiro termo depende apenas de x e o segundo apenas de t. Isso só pode acontecer para todos os x,t se cada termo for igual a uma constante (porque uma função de x que é igual a uma função de t para todo x,t deve ser constante). Introduzimos, então, uma constante de separação que chamaremos de \lambda. Há duas convenções comuns; vamos escolher a que leva a uma forma espacial do tipo autovalor (útil em muitos problemas):
\frac{\left[p(x)X'(x)\right]'}{r(x)X(x)} = -\lambda \qquad\text{e}\qquad \frac{T''(t)}{T(t)} = -\lambda.
Essa escolha de sinal (o menos) é apenas convenção: ela faz com que a equação temporal fique na forma familiar T''+\lambda T=0 quando \lambda>0, e a espacial tenha a forma [pX']'+\lambda r X=0.

Passo 6

Escreva explicitamente as duas equações ordinárias obtidas da separação:
  • Equação ordinária em t:
T''(t)+\lambda\,T(t)=0.
  • Equação ordinária em x:
\left[p(x)\,X'(x)\right]'+\lambda\,r(x)\,X(x)=0.
Explique cada termo: em \left[p(x)\,X'(x)\right]' está o operador diferencial espacial envolvendo a função p(x); o termo \lambda\,r(x)X(x) atua como “potencial” ou peso que depende de x. A constante \lambda é o parâmetro que liga as duas equações (em problemas com contornos, \lambda normalmente será determinado como autovalor através das condições de contorno).

Passo 7

Comentários didáticos e hipóteses necessárias (pra prova e pra não se assustar):
  • A separação foi possível porque os coeficientes da equação original dependem apenas de x (não de t). Se houvesse dependência mista em t (por exemplo p(x,t) ou r(x,t)), a técnica não se aplica diretamente.
  • Assumiu-se r(x)\neq 0 na região (senão não dá para dividir por r(x)). Se r muda de sinal ou é zero em pontos, o problema precisa de tratamento cuidadoso localmente.
  • A escolha do sinal para a constante \lambda é uma convenção útil: outras escolhas apenas trocam o sinal em ambas as equações correspondentes.
  • Em muitos problemas práticos essa forma espacial
\left[p(x)\,X'(x)\right]'+\lambda\,r(x)\,X(x)=0
é um problema de Sturm–Liouville (autovalores \lambda) quando acompanhado de condições de contorno adequadas; aí a separação gera uma série de modos próprios X_n(x)T_n(t) que compõem a solução geral.

Passo 8

Pequeno exemplo ilustrativo (bem simples): se p(x)=1 e r(x)=1, as equações ficam
X''(x)+\lambda X(x)=0,\qquad T''(t)+\lambda T(t)=0,
que já é uma situação clássica (ondas estacionárias). Isso mostra que a forma geral que obtivemos é consistente com casos conhecidos.

Resposta

\displaystyle T''(t)+\lambda\,T(t)=0
\displaystyle \left[p(x)\,X'(x)\right]'+\lambda\,r(x)\,X(x)=0

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