Calcule as integrais indefinidas
\int \frac{\ln x}{x \ln x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{\ln x}{x \ln x^{2}}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão envolve \ln x, portanto só faz sentido para x>0 (vamos trabalhar em x>0).
  • A integral é indefinida (queremos uma antiderivada mais constante de integração C).
  • Não há figuras ou dados adicionais.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão antes de integrar. Use a propriedade do logaritmo:
\ln x^{2}=2\ln|x|.
Como estamos considerando x>0, temos \ln|x|=\ln x. Portanto
\ln x^{2}=2\ln x.
Substituindo isso no integrando:
\frac{\ln x}{x \ln x^{2}}=\frac{\ln x}{x\cdot 2\ln x}.
Se \ln x\neq0 (isto é, x\neq1) podemos simplificar \ln x no numerador e denominador, obtendo
\frac{\ln x}{x \ln x^{2}}=\frac{1}{2x}\quad\text{(para \(x>0,\\ x\neq1\)).}
Observação sobre x=1: originalmente a forma tinha uma indeterminação 0/0 em x=1, mas o limite quando x\to1 de \dfrac{\ln x}{x\ln x^{2}} é \dfrac{1}{2}, que coincide com \dfrac{1}{2x} avaliado em x=1. Logo a simplificação é válida para fins de integração em cada intervalo onde a função está definida.

Passo 3

Agora integramos a função simplificada. Lembrete importante de cálculo básico:
  • A primitiva de \dfrac{1}{x} é \ln|x|+C, porque \dfrac{d}{dx}\ln|x|=\dfrac{1}{x}.
    Assim,
\int \frac{1}{2x}\,dx=\frac{1}{2}\int\frac{1}{x}\,dx=\frac{1}{2}\ln|x|+C.
Como estamos em x>0, \ln|x|=\ln x. Portanto
\int \frac{1}{2x}\,dx=\frac{1}{2}\ln x + C.

Passo 4

Verificação rápida: derive \dfrac{1}{2}\ln x:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\ln x\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{2x},
e usando \ln x^{2}=2\ln x isso volta à forma original do integrando (exceto na indeterminação removível em x=1). Portanto a antiderivada está correta.

Resposta

\dfrac{1}{2}\ln x + C

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