Calcule as integrais indefinidas
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão envolve
, portanto só faz sentido para (vamos trabalhar em ). - A integral é indefinida (queremos uma antiderivada mais constante de integração
). - Não há figuras ou dados adicionais.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão antes de integrar. Use a propriedade do logaritmo:
Como estamos considerando
, temos
. Portanto
Substituindo isso no integrando:
Se
(isto é,
) podemos simplificar
no numerador e denominador, obtendo
Observação sobre
: originalmente a forma tinha uma indeterminação
em
, mas o limite quando
de
é
, que coincide com
avaliado em
. Logo a simplificação é válida para fins de integração em cada intervalo onde a função está definida.
Passo 3
Agora integramos a função simplificada. Lembrete importante de cálculo básico:
- A primitiva de
é , porque .
Assim,
Como estamos em
,
. Portanto
Passo 4
Verificação rápida: derive
:
e usando
isso volta à forma original do integrando (exceto na indeterminação removível em
). Portanto a antiderivada está correta.