Encontre uma primitiva da função f(x)=\frac{1}{x^{2}}+1 que se anule no ponto x=2.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma primitiva da função f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}+1 que se anule no ponto x=2.
Informações relevantes:
  • A função é f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}+1.
  • A primitiva F deve satisfazer F'(x)=f(x) para x no domínio de f.
  • Condição adicional: F(2)=0.
  • Observação sobre domínio: \dfrac{1}{x^{2}} está definida para x\neq 0, então trabalharemos em intervalos que não contenham 0.

Passo 2

O que é uma primitiva (ou antiderivada)?
Uma função F é primitiva de f quando a derivada de F é f, isto é, F'(x)=f(x). As primitivas não são únicas: se F é primitiva, então F+C também é primitiva para qualquer constante C. Por isso usamos a constante de integração C.
Regra básica que vamos usar (regra da potência para integrais): para um real n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é constante de integração. Aqui n representa o expoente da potência, x é a variável de integração e o resultado é uma função cuja derivada volta a ser x^{n}.

Passo 3

Reescrevendo f com potência:
f(x)=\frac{1}{x^{2}}+1=x^{-2}+1.
Integramos termo a termo:
  • Para a parte x^{-2}, aplicando a regra da potência com n=-2:
\int x^{-2}\,dx=\frac{x^{-2+1}}{-2+1}+C=\frac{x^{-1}}{-1}+C=-x^{-1}+C=-\frac{1}{x}+C.
  • Para a constante 1:
\int 1\,dx=x+C.
Somando as partes (e juntando constantes num único C), uma primitiva geral é
F(x)=-\frac{1}{x}+x+C.

Passo 4

Agora impomos a condição F(2)=0. Substituindo x=2 em F:
F(2)=-\frac{1}{2}+2+C=0.
Calculando -\dfrac{1}{2}+2=\dfrac{3}{2}. Então
\dfrac{3}{2}+C=0\quad\Rightarrow\quad C=-\dfrac{3}{2}.

Passo 5

Substituindo C na primitiva geral obtemos a primitiva que satisfaz a condição exigida:
F(x)=-\frac{1}{x}+x-\frac{3}{2}.
Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando F,
F'(x)=\frac{d}{dx}\!\left(-\frac{1}{x}\right)+\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}\!\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{x^{2}}+1,
que é exatamente f(x). Além disso F(2)=-\tfrac{1}{2}+2-\tfrac{3}{2}=0, condição satisfeita.

Resposta

F(x)=-\frac{1}{x}+x-\frac{3}{2}

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