Encontre uma primitiva da função
que se anule no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma primitiva da função
que se anule no ponto
.
Informações relevantes:
- A função é
. - A primitiva
deve satisfazer para no domínio de . - Condição adicional:
. - Observação sobre domínio:
está definida para , então trabalharemos em intervalos que não contenham .
Passo 2
O que é uma primitiva (ou antiderivada)?
Uma função é primitiva de
quando a derivada de
é
, isto é,
. As primitivas não são únicas: se
é primitiva, então
também é primitiva para qualquer constante
. Por isso usamos a constante de integração
.
Uma função
Regra básica que vamos usar (regra da potência para integrais): para um real
,
onde
é constante de integração. Aqui
representa o expoente da potência,
é a variável de integração e o resultado é uma função cuja derivada volta a ser
.
Passo 3
Reescrevendo
com potência:
Integramos termo a termo:
- Para a parte
, aplicando a regra da potência com :
- Para a constante
:
Somando as partes (e juntando constantes num único
), uma primitiva geral é
Passo 4
Agora impomos a condição
. Substituindo
em
:
Calculando
. Então
Passo 5
Substituindo
na primitiva geral obtemos a primitiva que satisfaz a condição exigida:
Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando
,
que é exatamente
. Além disso
, condição satisfeita.