^a Questão. ( 2,5 pts) Calcule a derivada das funções.
f(x)=e^ee^2 xunderbracecos 4 xv+x^2 ln (sen^2 x).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=e^ee^2xcos4x+x^2lnl(sin^2xr)
Aqui vamos usar as regras de derivação de funções compostas (cadeia), quociente e produto, além de conhecer
ddxe^g(x)=e^g(x),g'(x), ddxlnl(sin^2xr)=2sin xcos xsin^2x=2cot x

Passo 2

Identifiquemos no primeiro termo
u(x)=e^g(x), g(x)=ee^2x=e,e^-2x, v(x)=cos4x
Derivada de g:
g'(x)=ecdot(-2)e^-2x=-2,ee^2x
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u'(x)=e^g(x),g'(x) =-2,ee^2x;e^ee^2x

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente em
uv:
l(uvr)'=u'v-uv'v^2
Como v'(x)=-4sin4x, o resultado é
u'v-uv'v^2 =-2,ee^2x,e^ee^2xcos4x -,e^ee^2xl(-4sin4xr)cos^24x
Fatorando e^ee^2x:
e^ee^2xl(-2ee^2xcos4x+4sin4xr)cos^24x

Passo 4

No segundo termo x^2ln(sin^2x) usamos produto:
l[x^2ln(sin^2x)r]' =2xln(sin^2x)+x^2cdotddxln(sin^2x) =2xln(sin^2x)+x^2cdot2cot x

Passo 5

Somando as duas partes, obtemos
f'(x) =e^ee^2xl(-2ee^2xcos4x+4sin4xr)cos^24x +2xlnl(sin^2xr)+2x^2cot x

Resposta

f'(x) =e^ee^2xl(-2ee^2xcos4x+4sin4xr)cos^24x +2xlnl(sin^2xr)+2x^2cot x

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