Calcule as integrais indefinidas:
\int \frac{\sqrt{1-(\ln (x))^{2}}}{x \ln (x)} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral raiz1-(ln(x))^2x,ln(x),dx
O conteúdo envolvido é técnica de substituição: primeiro queremos eliminar o x e o dx em termos de uma nova variável, transformando a integral num formato mais fácil de tratar.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = ln(x),
de modo que
dt = dxx
Isso transforma a integral em
integral raiz1 - t^2t,dt,
pois raiz1 - (ln(x))^2 = raiz1 - t^2 e dx/x = dt.

Passo 3

Agora nosso problema é calcular
integral raiz1 - t^2t,dt
Para lidar com a raiz quadrada de 1 - t^2, usamos uma substituição trigonométrica.

Passo 4

Escolhemos
t = sin(theta),
então
raiz1 - t^2 = cos(theta), dt = cos(theta),dtheta
A integral fica
integral cos(theta)sin(theta) ,cos(theta),dtheta = integral cos^2(theta)sin(theta),dtheta

Passo 5

Escrevemos cos^2(theta)=1-sin^2(theta) e separamos:
integral cos^2(theta)sin(theta),dtheta = integral 1-sin^2(theta)sin(theta),dtheta = integral l(csc(theta)-sin(theta)r),dtheta

Passo 6

Integramos cada termo:
integral csc(theta),dtheta = -lnl|csc(theta)+cot(theta)r| + C1, integral sin(theta),dtheta = -cos(theta) + C2
Somando e absorvendo constantes,
integral l(csc(theta)-sin(theta)r),dtheta = -lnl|csc(theta)+cot(theta)r| + cos(theta) + C

Passo 7

Retornamos às variáveis originais. Como t=sin(theta), temos
csc(theta)=1t, cot(theta)=raiz1-t^2t, cos(theta)=raiz1-t^2
Logo a primitiva é
-ln!l|tfrac1t+tfracraiz1-t^2tr| +raiz1-t^2+C = -ln!l|tfrac1+raiz1-t^2tr| +raiz1-t^2+C
Revertendo t=ln(x), obtemos a resposta final.

Resposta

raiz1-(ln(x))^2 ;-; ln!l|tfrac1+raiz1-(ln(x))^2ln(x)r| ;+;C

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