Calcule as integrais indefinidas:
\int \frac{\sqrt{1-(\ln (x))^{2}}}{x \ln (x)} d x
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida
O conteúdo envolvido é técnica de substituição: primeiro queremos eliminar o e o em termos de uma nova variável, transformando a integral num formato mais fácil de tratar.
Passo 2
Fazemos a substituição
de modo que
Isso transforma a integral em
pois e .
Passo 3
Agora nosso problema é calcular
Para lidar com a raiz quadrada de , usamos uma substituição trigonométrica.
Passo 4
Escolhemos
então
A integral fica
Passo 5
Escrevemos e separamos:
Passo 6
Integramos cada termo:
Somando e absorvendo constantes,
integral l(csc(theta)-sin(theta)r),dtheta = -lnl|csc(theta)+cot(theta)r| + cos(theta) + C
Passo 7
Retornamos às variáveis originais. Como t=sin(theta), temos