Esboce a região de integração, mude a ordem de integração e represente a integral correspondente.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região
e, em seguida, trocar a ordem de integração da integral
O conteúdo aqui é integração dupla em coordenadas cartesianas e mudança de ordem de integração.
Passo 2
A região
fica abaixo da curva
entre
e
, e acima do eixo
. No plano
ela é o “pop-up” que vai de
até
seguindo o arco de seno.
Passo 3
Para inverter a ordem, projetamos
no eixo
. Vemos que
varia de
a
. Para cada
fixo em
, o ponto
está em
sempre que
Como
é crescente em
, a condição
equivale a
. Logo, para cada
temos
Passo 4
Com esses limites, a integral com ordem invertida fica