Esboce a região de integração, mude a ordem de integração e represente a integral correspondente.
integral0^pi / 2 integral0^sen(x) f(x, y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região
D = (x,y)mid 0 <= x <= tfracpi2,;0 <= y <= sin(x)
e, em seguida, trocar a ordem de integração da integral
integral0^pi/2!integral0^sin(x) f(x,y),dy,dx
O conteúdo aqui é integração dupla em coordenadas cartesianas e mudança de ordem de integração.

Passo 2

A região D fica abaixo da curva y=sin(x) entre x=0 e x=pi/2, e acima do eixo x. No plano xy ela é o “pop-up” que vai de (0,0) até (pi/2,1) seguindo o arco de seno.

Passo 3

Para inverter a ordem, projetamos D no eixo y. Vemos que y varia de 0 a 1. Para cada y fixo em [0,1], o ponto (x,y) está em D sempre que
0 <= x <= tfracpi2 e y <= sin(x)
Como sin(x) é crescente em [0,pi/2], a condição y<=sin(x) equivale a x>= arcsin(y). Logo, para cada yin[0,1] temos
arcsin(y)<= x<= tfracpi2

Passo 4

Com esses limites, a integral com ordem invertida fica
integraly=0^1!integralx=arcsin(y)^pi/2 f(x,y),dx,dy

Resposta

integral0^1integralarcsin(y)^pi/2 f(x,y),dx,dy

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