Calcule as integrais indefinidas:
\int \frac{x}{\sqrt{1+x^{4}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral xraiz1+x^4,dx
O conteúdo envolvido é técnica de substituição em integrais, transformando a expressão numa forma padrão do tipo integral dtraiz1+t^2, cuja primitiva é conhecida.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = x^2 Longrightarrow dt = 2x,dx Longrightarrow x,dx = dt2

Passo 3

Substituindo em integral xraiz1+x^4,dx, temos
integral xraiz1+x^4,dx = integral 1raiz1+t^2,dt2 = 12integral dtraiz1+t^2

Passo 4

Sabemos que
ddtl(arcsinh(t)r) = 1raiz1+t^2,
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12integral dtraiz1+t^2 = 12,arcsinh(t) + C

Passo 5

Voltando à variável x, com t=x^2, obtemos
12,arcsinh(x^2) + C
Além disso, usando a identidade
arcsinh(u)=lnl(u+raiz1+u^2r),
pode-se escrever também
12,lnl(x^2+raiz1+x^4r)+C

Resposta

12,arcsinh(x^2) + C
ou, equivalentemente,
12,lnl(x^2+raiz1+x^4r) + C

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