Defina as integrais iteradas para ambas as ordens de integração, representando a região. Calcule a integral dupla usando a ordem mais fácil e explique por que ela é mais fácil.
, em que D é a região delimitada pelas curvas
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é a região limitada pela curva
, pela reta
e pelo eixo
. O conteúdo envolvido são integrais duplas e trocas na ordem de integração. Para resolver, precisamos:
- Descrever a região
. - Montar as duas integrais iteradas (ordens
e ). - Escolher a ordem mais fácil, calcular e justificar.
Passo 2
Primeiro, representamos
no plano: a curva
equivale a
, que vai de
até
. A reta horizontal
fecha a região acima da parábola.
Assim temos duas maneiras de iterar:
Assim temos duas maneiras de iterar:
Ordem
:
Ordem
:
Passo 3
A ordem
é mais fácil porque o integrando
não depende de
. Assim, na integral interna em
temos
Passo 4
Agora calculamos a integral restante em
:
Fazendo a substituição
,
, obtemos