Defina as integrais iteradas para ambas as ordens de integração, representando a região. Calcule a integral dupla usando a ordem mais fácil e explique por que ela é mais fácil.
integral duplaD 1y^3+1 d A, em que D é a região delimitada pelas curvas y=raizx, y=2, x >= 0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral duplaD1y^3+1,dA
onde D é a região limitada pela curva y=raizx, pela reta y=2 e pelo eixo x>=0. O conteúdo envolvido são integrais duplas e trocas na ordem de integração. Para resolver, precisamos:
  1. Descrever a região D.
  2. Montar as duas integrais iteradas (ordens dy,dx e dx,dy).
  3. Escolher a ordem mais fácil, calcular e justificar.

Passo 2

Primeiro, representamos D no plano: a curva y=raizx equivale a x=y^2, que vai de (0,0) até (4,2). A reta horizontal y=2 fecha a região acima da parábola.
Assim temos duas maneiras de iterar:
Ordem dy,dx:
integralx=0^4integraly=raizx^21y^3+1,dy,dx
Ordem dx,dy:
integraly=0^2integralx=0^y^21y^3+1,dx,dy

Passo 3

A ordem dx,dy é mais fácil porque o integrando 1y^3+1 não depende de x. Assim, na integral interna em x temos
integralx=0^y^21y^3+1,dx =1y^3+1l[xr]0^y^2 =y^2y^3+1

Passo 4

Agora calculamos a integral restante em y:
integraly=0^2y^2y^3+1,dy
Fazendo a substituição u=y^3+1, du=3y^2,dy, obtemos
integraly=0^2y^2y^3+1,dy =13integralu=1^91u,du =13l[ln(u)r]1^9 =13ln(9) =23ln(3)

Resposta

integral duplaD1y^3+1,dA =23ln(3)

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