Calcule as integrais indefinidas:
\int \frac{\sqrt{9-x{2}}}{x{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral indefinida
\int \frac{\sqrt{9-x^{2}}}{x^{2}}\,dx.
Informações dadas: a integranda é \dfrac{\sqrt{9-x^{2}}}{x^{2}}. A incógnita de integração é x. Não há constantes ou parâmetros extras. Procuro uma primitiva (antiderivada) em função de x. Neste problema, devo ter atenção que x não pode ser 0 por causa de x^{2} no denominador, e que a raiz exige |x|\le 3.

Passo 2

Motivação para a substituição (aula rápida): quando aparece uma raiz do tipo \sqrt{a^{2}-x^{2}}, a substituição trigonométrica clássica é
x = a\sin t,
porque então \sqrt{a^{2}-x^{2}}=a\cos t e isso simplifica a raiz. Aqui a=3, então escolho
x = 3\sin t.
Calculemos o diferencial dx e a raiz em termos de t:
dx = 3\cos t\,dt, \qquad \sqrt{9-x^{2}}=\sqrt{9-9\sin^{2}t}=3\cos t.
Observação sobre domínio: com x=3\sin t temos \sin t=\dfrac{x}{3}, logo |x|\le 3 corresponde a t real; também lembramos que x\neq 0 no integrando original, então evitamos t tais que \sin t=0.

Passo 3

Substitua tudo na integral: substituir \sqrt{9-x^{2}}=3\cos t, x^{2}=9\sin^{2}t e dx=3\cos t\,dt. Assim
\int \frac{\sqrt{9-x^{2}}}{x^{2}}\,dx = \int \frac{3\cos t}{9\sin^{2}t}\cdot 3\cos t\,dt.
Agora faça as simplificações passo a passo:
\frac{3\cos t}{9\sin^{2}t}\cdot 3\cos t = \frac{9\cos^{2}t}{9\sin^{2}t} = \frac{\cos^{2}t}{\sin^{2}t} = \cot^{2}t.
Portanto a integral em t fica
\int \cot^{2}t\,dt.

Passo 4

Como integrar \cot^{2}t? Use a identidade trigonométrica
1+\cot^{2}t=\csc^{2}t,
que é análoga a 1+\tan^{2}t=\operatorname{sec}^{2}t. Assim
\cot^{2}t=\csc^{2}t-1.
Integrando termo a termo:
\int \cot^{2}t\,dt = \int (\csc^{2}t-1)\,dt = \int \csc^{2}t\,dt - \int 1\,dt.
Sabendo que \dfrac{d}{dt}(\cot t)=-\csc^{2}t, temos \int \csc^{2}t\,dt=-\cot t. E \int 1\,dt=t. Portanto
\int \cot^{2}t\,dt = -\cot t - t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Volte à variável x. Lembre que x=3\sin t, então \sin t=\dfrac{x}{3} e t=\arcsin\!\left(\dfrac{x}{3}\right). Para \cot t podemos usar a relação
\cot t = \frac{\cos t}{\sin t}.
Como \cos t=\dfrac{\sqrt{9-x^{2}}}{3} (peguei esse valor da substituição e da expressão da raiz), então
\cot t = \frac{\dfrac{\sqrt{9-x^{2}}}{3}}{\dfrac{x}{3}} = \frac{\sqrt{9-x^{2}}}{x}.
Substituindo -\cot t - t por suas expressões em x, obtemos a primitiva
-\frac{\sqrt{9-x^{2}}}{x} - \arcsin\!\left(\frac{x}{3}\right) + C.
Lembrete final: essa expressão está válida para |x|\le 3 e x\neq 0, que são as condições naturais do problema original.

Resposta

-\dfrac{\sqrt{9-x^{2}}}{x}-\arcsin\!\left(\dfrac{x}{3}\right)+C

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