Calcule as integrais indefinidas:
\int \frac{\sqrt{9-x{2}}}{x{2}} d x
\int \frac{\sqrt{9-x{2}}}{x{2}} d x
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral indefinida
Informações dadas: a integranda é
. A incógnita de integração é
. Não há constantes ou parâmetros extras. Procuro uma primitiva (antiderivada) em função de
. Neste problema, devo ter atenção que
não pode ser
por causa de
no denominador, e que a raiz exige
.
Passo 2
Motivação para a substituição (aula rápida): quando aparece uma raiz do tipo
, a substituição trigonométrica clássica é
porque então
e isso simplifica a raiz. Aqui
, então escolho
Calculemos o diferencial
e a raiz em termos de
:
Observação sobre domínio: com
temos
, logo
corresponde a
real; também lembramos que
no integrando original, então evitamos
tais que
.
Passo 3
Substitua tudo na integral: substituir
,
e
. Assim
Agora faça as simplificações passo a passo:
Portanto a integral em
fica
Passo 4
Como integrar
? Use a identidade trigonométrica
que é análoga a
. Assim
Integrando termo a termo:
Sabendo que
, temos
. E
. Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Volte à variável
. Lembre que
, então
e
. Para
podemos usar a relação
Como
(peguei esse valor da substituição e da expressão da raiz), então
Substituindo
por suas expressões em
, obtemos a primitiva
Lembrete final: essa expressão está válida para
e
, que são as condições naturais do problema original.