converge ou diverge. Informações dadas e observações imediatas: para n=1 temos \left(1-\frac{2}{1}\right)^{1}=-1; para n=2 temos \left(1-\frac{2}{2}\right)^{4}=0; para n\ge 3 o termo \left(1-\frac{2}{n}\right) é positivo (porque 1-\frac{2}{n}>0 quando n>2), logo os termos da soma são positivos a partir de n=3. A série inteira mistura poucos termos iniciais (um negativo, um zero) e depois termos positivos. A questão é o comportamento assintótico dos termos gerais e se a soma infinita converge.
Passo 2
Estratégia escolhida (sem complicar): usar o teste da raiz (root test) para verificar convergência absoluta. Vou explicar o teste da raiz de modo didático: dado uma série \sum a_n, define-se
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
Se L<1 então a série converge absolutamente (logo converge); se L>1 a série diverge; se L=1 o teste é inconclusivo. Aqui vamos calcular L para a_n=\left(1-\frac{2}{n}\right)^{n^{2}}.
Para n grande (ou seja, na verificação do limite), n\ge 3 e a base é positiva, então podemos tirar as barras:
\sqrt[n]{|a_n|}=\left(1-\frac{2}{n}\right)^{n}.
Passo 4
Calcular o limite
\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{2}{n}\right)^{n}.
Este é um limite clássico do tipo \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}=e^{x}. Aqui x=-2, então esperamos e^{-2}. Vou mostrar isso de forma elementar usando logaritmo: tome logaritmo natural
Como e^{-2}<1 (de fato e^{-2}\approx 0{,}135), o teste da raiz garante que a série \sum a_n converge absolutamente. Explicando em palavras: os termos a_n diminuem como uma sequência exponencial em n (com razão efetiva aproximadamente e^{-2}), então a soma infinita converge.
Passo 6
Conclusão final: a convergência é absoluta, o que implica convergência simples também. Observações adicionais úteis para prova: não é necessário analisar os poucos termos iniciais separadamente (eles só alteram uma soma finita), a propriedade decisiva é o comportamento assintótico dos termos para n grande, que foi capturado pelo teste da raiz.