Determine se as seguintes séries convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{2}{n}\right)^{n^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{2}{n}\right)^{n^{2}}
converge ou diverge. Informações dadas e observações imediatas: para n=1 temos \left(1-\frac{2}{1}\right)^{1}=-1; para n=2 temos \left(1-\frac{2}{2}\right)^{4}=0; para n\ge 3 o termo \left(1-\frac{2}{n}\right) é positivo (porque 1-\frac{2}{n}>0 quando n>2), logo os termos da soma são positivos a partir de n=3. A série inteira mistura poucos termos iniciais (um negativo, um zero) e depois termos positivos. A questão é o comportamento assintótico dos termos gerais e se a soma infinita converge.

Passo 2

Estratégia escolhida (sem complicar): usar o teste da raiz (root test) para verificar convergência absoluta. Vou explicar o teste da raiz de modo didático: dado uma série \sum a_n, define-se
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
Se L<1 então a série converge absolutamente (logo converge); se L>1 a série diverge; se L=1 o teste é inconclusivo. Aqui vamos calcular L para a_n=\left(1-\frac{2}{n}\right)^{n^{2}}.

Passo 3

Calcular \sqrt[n]{|a_n|}. Temos
\sqrt[n]{\left|\left(1-\frac{2}{n}\right)^{n^{2}}\right|} =\left|1-\frac{2}{n}\right|^{n}.
Para n grande (ou seja, na verificação do limite), n\ge 3 e a base é positiva, então podemos tirar as barras:
\sqrt[n]{|a_n|}=\left(1-\frac{2}{n}\right)^{n}.

Passo 4

Calcular o limite
\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{2}{n}\right)^{n}.
Este é um limite clássico do tipo \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}=e^{x}. Aqui x=-2, então esperamos e^{-2}. Vou mostrar isso de forma elementar usando logaritmo: tome logaritmo natural
\ln\left( \left(1-\frac{2}{n}\right)^{n}\right)=n\ln\!\left(1-\frac{2}{n}\right).
Faça a mudança t=\frac{1}{n}. Quando n\to\infty, t\to 0^{+}. Reescrevendo,
n\ln\!\left(1-\frac{2}{n}\right)=\frac{\ln(1-2t)}{t}.
Agora use L’Hôpital (ou a expansão \ln(1+u)=u+o(u) quando u\to 0). Aplicando L’Hôpital:
\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1-2t)}{t}=\lim_{t\to 0}\frac{-2/(1-2t)}{1}=-2.
Logo
\lim_{n\to\infty} n\ln\!\left(1-\frac{2}{n}\right)=-2,
e portanto, exponenciando ambos os lados,
\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{2}{n}\right)^{n}=e^{-2}.

Passo 5

Voltando ao teste da raiz: encontramos que
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{2}{n}\right)^{n}=e^{-2}.
Como e^{-2}<1 (de fato e^{-2}\approx 0{,}135), o teste da raiz garante que a série \sum a_n converge absolutamente. Explicando em palavras: os termos a_n diminuem como uma sequência exponencial em n (com razão efetiva aproximadamente e^{-2}), então a soma infinita converge.

Passo 6

Conclusão final: a convergência é absoluta, o que implica convergência simples também. Observações adicionais úteis para prova: não é necessário analisar os poucos termos iniciais separadamente (eles só alteram uma soma finita), a propriedade decisiva é o comportamento assintótico dos termos para n grande, que foi capturado pelo teste da raiz.

Resposta

Converge absolutamente.

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